Fourierserier: historia och inflytande matematiska mekanism för utvecklingen av vetenskap

Fourierserier - denna uppfattning godtyckligt funktioner perioden i rad. I allmänna termer, är denna lösning kallas expansionselementet på en ortogonal bas. Expansionen av funktioner i Fourier-serien är ganska kraftfullt verktyg för att lösa olika problem på grund av egenskaperna hos omvandlingen i integrationen, differentiering, såväl som en förskjutning i argumentet uttryck och faltning.

En person som inte är bekant med högre matematik, liksom med verk av franska forskare Fourier, troligen inte kommer att förstå vad "leden" och vad de gör. Ändå denna omvandling är ganska stadigt in i våra liv. Det används inte bara matematik, men även fysiker, kemister, läkare, astronomer, seismologer, oceanografer och andra. Låt oss också ta en närmare titt med verk av den stora franska forskare som gjorde upptäckten, före sin tid.

Mannen och Fouriertransform

Fourier serien är en av de metoder som (tillsammans med analys och andra) av Fouriertransformen. Denna process sker varje gång en person hör något ljud. Vårt öra omvandlar automatiskt ljudvågen. Oscillerande rörelse av elementära partiklar i ett elastiskt medium är expanderade i serien (spektrum) successiva volymvärden för toner av olika höjd. Därefter omvandlar hjärnan dessa data i välbekanta ljud för oss. Allt detta är ett tillägg till vår önskan eller medvetandet självt, men för att förstå de processer som tar flera år för att studera högre matematik.

Läs mer om Fouriertransform

Fouriertransformen kan utföras analytiskt, siffror och andra metoder. Fourier serien är siffran process för nedbrytning av eventuella oscillerande processer - från havets tidvatten och vågor av ljus till sol cykler (och andra astronomiska objekt) aktivitet. Med användning av dessa matematiska tekniker är det möjligt att plocka isär funktion, som representerar eventuella oscillerande processer i ett antal sinusformade komponenter som går från minimum till maximum och omvänt. Fouriertransformen är en funktion som beskriver fasen och amplituden hos sinuskurvor som motsvarar en viss frekvens. Denna process kan användas för att lösa en mycket komplexa ekvationer, vilka beskriver de dynamiska processer som sker under inverkan av värme, ljus eller elektrisk energi. Dessutom använde Fourierserier att skilja DC-komponenter i komplexa vågformer, vilket gör det möjligt att korrekt tolka experimentella observationer inom medicin, kemi och astronomi.

historisk information

Grundaren av denna teori är den franske matematikern Zhan Batist Zhozef Fure. Hans namn senare och denna omvandling har kallats. Initialt, forskarna använt en teknik för att studera och förklara mekanismerna för värmeledningsförmåga - värme förökning i fasta ämnen. Fourier föreslog att den initiala oregelbunden fördelning av värmevågen kan delas upp i enkel sinusoid, vilka var och en kommer att ha dess temperatur minimum och maximum, liksom dess fas. Således varje sådan komponent som skall mätas från minimum till maximum och vice versa. Den matematiska funktionen som beskriver de övre och nedre topparna hos kurvan, samt fasen för varje överton, kallas Fouriertransformen av distributionen av expression temperatur. Författaren till teorin om minskad total fördelningsfunktion som är svår att matematisk beskrivning, på ett mycket enkelt att hantera ett antal periodiska funktioner sinus och cosinus i mängden ge den initiala distributionen.

Principen om omvandling och synpunkter från samtida

Samtida forskare - de ledande matematiker i början av artonhundratalet - inte acceptera denna teori. Huvud invändning var godkännandet av Fourier som den diskontinuerliga funktion som beskriver en rak linje eller kurva rivs, det kan representeras som en summa av sinusformade uttryck som är kontinuerlig. Som ett exempel, betrakta ett "steg" Heaviside: dess värde är noll till vänster om gapet och en på höger sida. Denna funktion beskriver beroendet av elektrisk ström på tidsvariabeln för stängningen kedjan. Samtida teori vid denna tidpunkt, hade aldrig stött på en sådan situation, när en diskontinuerlig uttryck skulle beskrivas genom en kombination av kontinuerliga, gemensamma funktioner, såsom exponentiella, sinus, linjär eller kvadratisk.

Vad brytt de franska matematiker i teorin om Fourier?

Trots allt, om en matematiker var rätt att argumentera då summera en oändlig trigonometriska Fourier serien, är det möjligt att få en korrekt bild av steget av uttryck, även om den har en uppsättning av liknande steg. I början av artonhundratalet, verkade detta uttalande absurd. Men trots alla tvivel, har många matematiker utökat omfattningen av studien av detta fenomen, flytta den bortom de termiska ledningsstudier. Men de flesta forskare fortsatte att lida frågan: "Kan summan av sinusvågen serien konvergerar till det exakta värdet av en diskontinuerlig funktion"

Konvergens av Fourierserier: exempel

Frågan om konvergens stiger varje gång du behöver summan av en oändlig serie siffror. överväga ett klassiskt exempel för förståelsen av detta fenomen. Kan du någonsin nå väggen, om varje steg är halva tidigare? Anta att du är två meter från målet, det första steget närmare till cirka halvvägs, nästa - märket för en tre fjärdedelar, och efter den femte, du kommer att övervinna nästan 97 procent av vägen. Men oavsett hur många steg du har gjort varken, det avsedda målet når i strikt matematisk mening. Med hjälp av numeriska beräkningar kan vi bevisa att i slutändan kan vara närmare en godtyckligt liten givet avstånd. Detta motsvarar ett bevis visar att det totala värdet av en halv, en fjärdedel, och så vidare. E. tenderar till enhet.

Frågan om konvergens: den andra ankomsten eller instrument för Lord Kelvin

Upprepade gånger uppstod frågan i slutet av artonhundratalet, när Fourier serien har försökt att använda för att förutsäga intensiteten i ebb och flod. På den tiden var Lord Kelvin uppfunna anordningen är en analog dator som tillät sjömän flottan och handelsflottan monitor är ett naturligt fenomen. Denna mekanism definierad uppsättning faser och amplituder i tabellen höjden av tidvatten och de motsvarande tids stunder, noggrant uppmätt i hamnen under hela året. Varje parameter är en sinusformade komponenten expressions tide höjder och var en av de regelbundna komponenterna. Mätresultaten matas in till beräkningsanordningen Lord Kelvin, syntetisering kurva som förutsagda höjden av vattnet som en funktion av följande år. Mycket snart var dessa kurvor upprättas för alla hamnar i världen.

Och om processen kommer att brytas diskontinuerliga funktion?

Vid denna tidpunkt, föreföll det uppenbart att anordningen förutsäga en flodvåg, med många element av kontot kan beräkna ett stort antal faser och amplituder, och så ge en mer exakt förutsägelse. Ändå visade det sig att detta mönster inte observeras i de fall där tidvatten uttryck som ska syntetiseras, innehöll en skarp hopp, det vill säga är diskontinuerliga. I händelse av att anordningen för att mata in data från en tabell av tidpunkter, beräknar det några Fourier-koefficienter. Utvinning av den ursprungliga funktionen på grund av att den sinusformade komponenten (i enlighet med de funna koefficienter). Diskrepansen mellan den ursprungliga och den rekonstruerade uttryck kan mätas i varje punkt. När upprepade beräkningar och jämförelser framgår att värdet av de största felet inte minskas. Men de lokaliserade i den region som motsvarar den punkt bristning och någon annan punkt tenderar till noll. År 1899 var detta resultatet bekräftades teoretiskt Joshua Willard Gibbs av Yale University.

Konvergens av Fourierserier och utveckling av matematiken som helhet

Fourieranalys gäller inte uttryck som innehåller ett oändligt antal av skurar vid ett visst intervall. I allmänhet Fourierserier, om den ursprungliga funktionen representeras av resultatet av den faktiska fysiska mätningar, alltid konvergera. Frågor om konvergens av denna process för specifika klasser av funktioner har lett till nya grenar av matematiken, såsom teorin om generaliserade funktioner. Det är förenat med namn som Schwartz, J .. Mikusiński och J. Temple. Enligt denna teori, har en klar och tydlig teoretisk grund för sådant uttryck etablerats som deltafunktion Dirac (den beskriver området av ett enda område, koncentrerades i en oändligt område av punkten) och "steg" Heaviside. Genom detta arbete Fourier serien började tillämpas för att lösa ekvationer och problem, som innebär intuitiva begrepp: punktladdning, punkt massa, magnetiska dipoler, och den koncentrerade lasten på balken.

fourier metod

Fourierserier, i enlighet med principerna om störningar börja med nedbrytningen av komplexa former i enklare. Till exempel, en ändring i värmeflöde på grund av dess passage genom de olika barriärerna av det värmeisolerande materialet med oregelbunden form eller ändra markytan - en jordbävning, en förändring i omloppet av himlakropp - inverkan av planeterna. Normalt är dessa ekvationer som beskriver enkla klassiska systemet elementära lösas för varje enskild våglängd. Fourier har visat att enkla lösningar kan sammanfattas som för mer komplexa uppgifter. I språket av matematik, Fourierserier - en metod för inlämnande av uttryck summan av harmoniska - cosinus och sinusvågor. Därför är denna analys även känd under namnet "harmonisk analys".

Fourierserier - en idealisk metod för "dataåldern"

Före skapandet av datorteknik Fourier metod är det bästa vapnet i arsenalen av forskare som arbetar med den våg naturen av vår värld. Fourierserier i komplex form gör det möjligt att inte bara lösa enkla problem som kan bli föremål för en direkt tillämpning av Newtons lagar mekanik, men också de grundläggande ekvationer. De flesta av de upptäckter av newtonska vetenskapen av artonhundratalet blev möjligt bara på grund av Fourier-metoden.

Fourierserier idag

Med utvecklingen av Fouriertransformen datorer har stigit till en ny nivå. Denna teknik är fast förankrade i nästan alla områden av vetenskap och teknik. Som ett exempel, en digital audio och video. Genomförandet har gjorts möjlig endast tack vare teorin utvecklades av den franske matematikern i början av artonhundratalet. Således har Fourierserier i komplex form tillåtet att göra ett genombrott i studiet av yttre rymden. Dessutom har det påverkat studiet av fysiken av halvledarmaterial och plasma, mikrovågsugn akustik, oceanografi, radar, seismologi.

Trigonometriska Fourierserier

I matematik, är en Fourier-serie ett sätt att representera godtyckliga komplexa funktioner som en summa av enklare. I vanliga fall kan antalet uttryck vara oändlig. Ju större antalet räknades i beräkningen, är det mer korrekt det erhållna slutresultatet. Den vanligaste användningen av enkla trigonometriska cosinus eller sinusfunktion. I detta fall är Fourier serie som heter trigonometriska, och beslutet av sådana uttryck - harmonisk nedbrytning. Denna metod spelar en viktig roll i matematik. Först och främst ger trigonometriska serier ett medel för bilden, liksom studiet av funktioner, är det huvudenheten av teorin. Dessutom kan det för oss att lösa ett antal problem i matematisk fysik. Slutligen har denna teori bidragit till utvecklingen av matematisk analys, gav det upphov till ett antal mycket viktiga grenar av matematisk vetenskap (teori om integraler, teorin om periodiska funktioner). Dessutom är utgångspunkten för utvecklingen av följande teorier: uppsättningar, funktioner av en reell variabel, funktionell analys, och även lagt grunden för harmonisk analys.