Vad är integrerad, och vad är dess fysiska innebörden

Utseendet var begreppet integral på grund av behovet av att finna en primitiv funktion av dess derivat, och bestämma värdet på arbetsområdet komplexa former, tillryggalagd sträcka avstånd med de parametrar som anges kurvor genom ickelinjära ekvationer.

Naturligtvis och fysiken vet vi att arbetet är produkten av kraft över ett avstånd. Om allt rörelsen är på en konstant hastighet eller distans övervinns med tillämpning av samma kraft, då allt är klart, du helt enkelt multiplicera. Vad är integralen av konstant? Detta är en linjär funktion av formen y = kx + c.

Men kraften för drift kan variera och i vissa ordnat förhållande. En liknande situation uppstår med beräkningen av tillryggalagd sträcka, om hastigheten inte är konstant.

Så är det förståeligt varför det finns en integral. Definiera det som en summa av produkter av värden på funktionen på oändligt ökning av argumentet helt beskriver huvudinnebörden av begreppet som det område i figuren begränsas av den översta raden av funktionen, och kanterna - definitionen av gränser.

Jean Gaston Darboux, fransk matematiker, under andra halvan av artonhundratalet har mycket tydligt förklarat att denna integral. Han gjorde det så klart att en helhet kommer inte vara svårt att förstå ens en skolhögstadiet i denna fråga.

Antag att det är en funktion av någon komplicerad form. y-axeln, på vilken deponeras värdet av argumentet, är uppdelad i små mellanrum, helst, de är oändligt små, men eftersom begreppet oändlighet är ganska abstrakt, räcker det att föreställa sig just små bitar, vars storlek är vanligtvis betecknas med den grekiska bokstaven Δ (delta).

Funktionen var "skivad" i mindre block.

Varje värde av argumentet motsvarar en punkt på ordinataxeln vid vilken deponerade motsvarande värden för funktionen. Men eftersom gränserna i det valda området två, kommer de värden och funktioner också vara två eller mer och mindre.

Summan av produkter av stora värden för inkrementet Δ kallas Darboux stor mängd, och hänvisas till som S. Därför mindre värden för ett begränsat område, multiplicerat med Δ, tillsammans bildar en liten mängd Darboux s. Själva webbplatsen liknar en rektangulär trapets, så som en funktion av den krökning av linjen på grund av en infinitesimal inkrement det kan försummas. Det enklaste sättet att hitta området av en geometrisk form - en vikt bitar av större och mindre värden på funktionen Δ ökning och dividera med två, som definieras som det aritmetiska medelvärdet.

Det är vad den integrerade Darboux:

s = Σf (x) Δ - en liten mängd;

S = Σf (x + Δ) Δ - stor mängd.

Så, vad är integrerad? Område som avgränsas av en linje funktion och definition av gränserna kommer att vara lika med:

∫f (x) dx = {(S + s) / 2} + c

Det vill säga, det aritmetiska medelvärdet av större och mindre mängder Darbu.s - konstant värde, återställ på differentiering.

Baserat på den geometriska uttryck för detta koncept, blir det tydligt den fysiska innebörden av den integrerade. Kvadratiska former, som skisseras en funktion av hastigheten, och den begränsade tidsintervallet på x-axeln kommer att vara längden av den tillryggalagda sträckan.

L = ∫f (x) dx i intervallet från t1 till t2,

var

f (x) - en funktion av hastigheten, är att formeln genom vilken den förändras över tiden;

L - längden på banan;

T1 - starttiden av banan;

t2 - tid för färdigställande väg.

Exakt samma princip bestäms av den mängd arbete, men kommer att deponeras på abskissan avstånd och ordinatan - mängden kraft som utövas på varje enskild punkt.