The Russell Paradox: bakgrund, exempel, formulering

Russell paradox är två ömsesidigt beroende logiska antinomi.

Två former av Russells paradox

Den vanligaste diskuterade formen av en motsägelse i logik set. Några av uppsättningen verkar vara medlemmarna själva och andra - nej. Mängden av alla apparater är i sig ett set, så det verkar som det refererar till sig själv. Null eller tom, bör dock inte vara medlem i sig själv. Därför är mängden av alla apparater, som noll inte in i sig själv. Paradoxen uppstår när frågan om uppsättningen av en medlem av sig själv. Detta är möjligt om och endast om det inte är.

Annan form paradox är en motsägelse avseende egenskaper. Vissa egenskaper, verkar hänvisa till sig själva, medan andra inte är det. Egenskapen att vara egenskapen själv är en egenskap, medan fastigheten om det är en katt är det inte. Tänk på egenskapen att ha en fastighet som inte tillhör honom. om det gäller för sig själv? Återigen, om någon av de antaganden vara tvärtom. Paradoxen var uppkallat efter Bertrand Russell (1872-1970), som upptäckte den 1901.

berättelse

Öppning Russell inträffade under hans arbete med "Principles of Mathematics". Även om han upptäckte paradoxen oberoende, finns det bevis för att andra matematiker och utvecklare av mängdlära, inklusive Ernst Zermelo och David Hilbert, var medvetna om den första versionen av motsägelser före honom. Russell, var dock det första som diskuteras i detalj paradoxen i sina publicerade verk, först försökte formulera lösningar och den första att till fullo uppskatta dess betydelse. Ett helt kapitel av "Principles" ägnades åt diskussioner om denna fråga, och programmet ägnades åt teorin om typer som Russell föreslås som en lösning.

Russell upptäckte "paradox lögnare', med tanke på Cantors mängdlära som säger att kraften i varje uppsättning är mindre än den uppsättning av dess undergrupper. Åtminstone i den domän bör vara så många undergrupper som det finns element i det, om en undergrupp av varje element är inställt innehållande endast detta element. Dessutom visade Cantor att antalet element som inte kan vara lika med antalet undergrupper. Om det fanns lika många, skulle det behöva finnas ƒ funktion som skulle visa element på sina undergrupper. Samtidigt det kan bevisas att det är omöjligt. Vissa objekt kan visas på funktionen ƒ delmängder som innehåller dem, medan andra inte.

Tänk på delmängd av element som inte tillhör sina bilder, där de visar ƒ. Det är i sig en undergrupp av element, och därför skulle ƒ funktion visa den på ett element i domänen. Problemet är att då uppstår frågan om huruvida detta element tillhör undergruppen som den visar ƒ. Detta är bara möjligt om det inte hör hemma. Russells paradox kan ses som ett exempel på samma resonemang, endast förenklas. Vad mer - uppsättningar eller undergrupper av den inställda? Det verkar som om det borde finnas flera uppsättningar, som alla undergrupper av uppsättningarna själva. Men om cantors sats är sant, då bör det finnas flera grupper. Russell betraktas helt enkelt visa uppsättningar på sig själva och tillämpas kantoriansky strategi med tanke på mängden av alla dessa element, utanför en uppsättning där de visas. Visar Russell blir mängden av alla apparater, en icke.

error Frege

"Det paradoxala i lögnare" hade en djupgående inverkan på den historiska utvecklingen av teorin om uppsättningar. Han visade att begreppet universal uppsättningen är mycket problematiskt. Han ifrågasatte också uppfattningen att för varje definierat tillstånd eller predikat kan anta att det finns en mångfald av enbart de saker som uppfyller detta villkor. Alternativ paradox beträffande egenskaper - en naturlig förlängning till den version set - gav upphov till allvarliga tvivel om huruvida det är möjligt att argumentera om målet existensen av en fastighet eller en universell överensstämmelse med varje bestäms av tillståndet, eller predikat.

Snart motsättningar och problem i arbetet med de logicians hittades, filosofer och matematiker som har gjort liknande antaganden. År 1902, Russell funnit att en variant av paradox kan uttryckas i ett logiskt system, som utvecklats i volym I av Gottlob Frege s "Foundations of aritmetik", en av de viktigaste verk om logiken i slutet av XIX - tidigt XX-talet. I filosofi Frege många uppfattas som en "förlängning" eller "value-range" -konceptet. Begreppen är närmast de korrelat. De förväntas existera för varje given tillstånd eller predikat. Det finns alltså ett koncept av en uppsättning, som inte omfattas av dess definierande koncept. Det finns också en klass som definieras av detta koncept, och det är föremål för att definiera sitt koncept endast om det inte är.

Russell skrev till Frege om denna konflikt, i juni 1902. Korrespondens var en av de mest spännande och omtalade i historien om logik. Frege redovisas omedelbart de katastrofala följderna av paradoxen. Han noterade dock att den version av kontroversen om fastigheterna i hans filosofi löstes genom att skilja mellan begreppen nivåer.

Frege föreställning förstås som övergången från argument funktionen till TRUE. Begreppen första nivån tar som argument föremål för den andra nivån koncept tar som argument till dessa funktioner, och så vidare. Således kan begreppet aldrig ta sig själv som ett argument, och det paradoxala i termer av egenskaper kan inte formuleras. Icke desto mindre uppsättningar, förstått expansion eller begrepp Frege som en hänvisning till samma logiska typ som den för alla andra objekt. Sedan för varje set det är en fråga om den faller under begreppet definiera det.

När Frege fick Russell den första bokstaven, den andra volymen av "Foundations of aritmetik" är redan färdig tryck. Han var tvungen att snabbt förbereda ett program som ger ett svar på paradox Russell. Exempel Frege innehöll ett antal möjliga lösningar. Men han kom fram till att försvaga begreppet abstraktion som i ett logiskt system.

I den ursprungliga, var det möjligt att dra slutsatsen att objektet tillhör uppsättningen om och endast om det omfattas av begreppet definierar det. Det reviderade systemet kan bara konstatera att objektet tillhör uppsättningen om och endast om det faller inom begreppet definierar ett flertal, men inte satt i fråga. Russells paradox uppstår.

Lösningen är dock inte helt nöjd med Frege. Och detta var orsaken. Flera år senare, har mer komplex form av motsättningen funnit för det reviderade systemet. Men redan innan detta hände, Frege övergav sina beslut och verkar komma till slutsatsen att hans inställning var helt enkelt inte fungerar, och att logiken kommer att göra utan att någon av uppsättningarna.

Ytterligare andra har föreslagits, relativt mer framgångsrika alternativa lösningar. Dessa diskuteras nedan.

Teorin typer

Det noterades ovan att Frege var ett adekvat svar på de paradoxer av mängdlära i version formulerade för fastigheter. Frege svar föregicks av den oftast diskuterade lösningen på denna form av paradox. Det bygger på det faktum att egenskaper är föremål för olika typer och vilken typ av egendom är aldrig densamma som de punkter som den hänvisar till.

Således inte ens uppstår frågan, om fastigheten är tillämplig på sig själv. Logiskt språk, som separerar de delar av en sådan hierarki med användning av teorin om typer. Även om det används redan av Frege, första gången den är helt förklaras och underbyggt Russell i bilagan till "principen". Teorin typer var mer komplett än skillnaden av Freges nivåer. Hon delade egenskaper är inte bara olika typer av logik, men också ställa. typteori att lösa motsättningen i paradox Russell följer.

För att vara en filosofiskt tillräcklig, krävs det att teorin om typer av fastigheter utvecklingen av teorin om den typ av egenskaper så att skulle kunna förklara varför de inte kan tillämpas på dem. Vid första anblicken är det vettigt att predikat sin egen egendom. Egenskapen att vara självidentitet, tycks det, det är också en egen identitet. Egenskapen verkar vara en trevlig njutbar. På samma sätt, tydligen verkar det fel att säga att egenskapen att vara en katt är en katt.

Trots olika tänkare motiverade uppdelningen av olika typer. Russell gav även olika förklaringar vid olika tidpunkter i hans karriär. För sin del, den logiska grunden för separation av de olika begreppen Freges nivåer kommer från hans teori av omättade koncept. Begrepp som funktion, i huvudsak är ofullständiga. Att ge värde, de behöver ett argument. Du kan inte bara ett koncept för att predikat begreppet av samma typ, eftersom det kräver fortfarande sin argument. Till exempel, även om det är möjligt att ta kvadratroten ur kvadratroten av ett nummer, du kan inte bara använda en kvadratroten funktion kvadratroten funktion och få ett resultat.

Om konservatism egenskaper

En annan möjlig lösning är den paradox egenskaper negation egenskaper existens under givna omständigheter, eller en välformad predikat. Självklart, om någon undviker metafysiska egenskaper hos både objektiva och oberoende element som helhet, om vi tar nominalism paradox kan undvikas helt och hållet.

Men för att lösa antinomin behöver inte vara så extrem. Logic högre ordersystem utvecklat Frege och Russell, innehåller vad som kallas en konceptuell princip enligt vilken varje öppen formler oavsett hur komplex existerar som en del av en fastighet eller koncept till exempel endast de objekt som matchar formeln. De appliceras attributen för varje möjliga mängd villkor eller predikat, oavsett hur komplexa de var.

Ändå var det möjligt att ta en mer rigorösa metafysik egenskaper som ger rätt till objektiv existens av enkla egenskaper, inklusive, till exempel, såsom röd färg, fasthet, vänlighet och så vidare. D. Du kan även låta dessa egenskaper gäller själva, såsom vänlighet kan vara vänlig.

Och samma status för komplexa attribut kan förnekas, till exempel, sådana "egenskaper" som har sjutton-huvuden, be-skrivas under-vatten och liknande. D. I detta fall inget förutbestämt tillstånd uppfyller inte egenskapen, förstås som separat befintligt element, som har sina egna egenskaper. Således kan förneka existensen av enkla egenskaper be-fastighets att-non-appliceras till sig själv och undvika paradox genom att tillämpa mer konservativa metafysiska egenskaper.

Russells paradox: lösningen

Ovanför konstaterades att i slutet av sitt liv Frege övergav helt logik set. Detta, naturligtvis, en lösning på antinomin i form av uppsättningar: en enkel förnekande av existensen av sådana element som en helhet. Dessutom finns det andra populära val, grunderna av dessa visas nedan.

Teorin för många typer av

Som tidigare nämnts, Russell spelade för en mer komplett teori typer, som skulle dela inte bara egenskaper eller begrepp för olika typer, men också ställa. Russell delad inställt på ett flertal separata enheter, ett flertal uppsättningar av separata objekt, etc. Uppsättningarna av föremål som inte övervägdes och ett flertal uppsättningar - .. set. En hel del aldrig haft typ, kan du ha som medlem av sig själv. Därför finns det ingen uppsättning av alla apparater som inte är medlemmar i sin egen, eftersom det för varje uppsättning av frågor om huruvida det är som en medlem, är i sig en kränkning typ. Återigen, är frågan här att förklara metafysik set för att förklara de filosofiska grundvalar indelningen i olika typer.

stratifiering

År 1937 har V. V. Kuayn erbjuds en alternativ lösning, på ett sätt som liknar teorin typer. Grundläggande information om det är.

Separeringselement-apparater och andra. Göras så att antagandet om att finna en mångfald alltid är felaktig eller meningslös. Ställer kan bara lämnas när man definierar deras villkor är inte ett brott typ. Således för Quine "x inte medlem av x" uttrycket är det meningsfullt uttalande innebär inte förekomsten av mängden av alla element x uppfyller detta villkor.

I detta system finns en uppsättning för vissa öppen formel A om och endast om den är stratifierat, t. E. Om variablerna tilldelas positiva heltal sådana att för varje egenskap förekomst av ett flertal föregår den variabel tilldelas uppdraget enhet som är mindre än den variabla, följande efter honom. Detta block Russells paradox, eftersom den formel som används för att bestämma problemet set, det är densamma före och efter variabeln medlemskap tecken gör det Icke-stratifierat.

Men det har ännu inte att avgöra om det resulterande systemet, som Quine kallade "Nya grunder matematisk logik" konsekvent.

avslag

Ett helt annat tillvägagångssätt tas i teorin om Zermelo - Fraenkel (ZF). Även här sätta en gräns om förekomsten av set. Istället närmar "top-down" av Russell och Frege, som först trodde att för alla begrepp, egenskaper eller förhållanden kan föreslå existensen av mängden av alla saker med den här egenskapen eller för att uppfylla ett sådant tillstånd, i ZF-teorin, allt börjar "nerifrån och upp."

Individuella elementen i den tomma mängden och bilda en uppsättning. Därför, till skillnad från tidigare system och Russell Frege FIT inte tillhör den universella uppsättning som inkluderar alla elementen och även alla apparater. ZF sätter strikta gränser för förekomsten av set. Kan förekomma endast de för vilka det tydligt postulerade eller som kan formuleras med hjälp av iterativa processer och liknande. D.

Sedan, i stället för begreppet abstraktion naiva uppsättning som säger att ett visst element ingår i uppsättningen om och endast om det uppfyller villkoren i princip separation används DF, separation eller "sortering". I stället för att man antar att det föreligger den uppsättning av alla element som är utan undantag uppfyller ett visst villkor, för varje befintlig uppsättning Aussonderung indikerar existensen av en undergrupp av alla element i den ursprungliga uppsättningen som uppfyller villkoret.

Sedan kommer abstraktion princip: Om den inställda A existerar alltså för alla x i A, tillhör X till delmängd A, vilket uppfyller villkoret om och endast om x uppfyller villkoret C. Detta tillvägagångssätt löser paradoxen Russell, eftersom vi kan inte bara anta det vill säga mängden av alla apparater som inte är medlemmar i sig själva.

Att ha en hel del uppsättningar, kan du välja eller dela upp det i uppsättningar, som i sig själva, och de som inte är så, men eftersom det inte finns någon universell uppsättning vi inte är bundna uppsättning av alla apparater. Utan att ta problemet sätter Russell motsättning kan inte bevisas.

andra lösningar

Dessutom har det förekommit efterföljande förlängningar eller modifieringar av dessa lösningar, såsom en gaffel typ teori om "Principles of Mathematics" systemets expansions "matematisk logik" Quine, liksom fler senaste utvecklingen i teorin om uppsättningar, gjorde Bernays, Gödel och von Neumann. Frågan om huruvida svaret på den olösliga paradox Bertrand Russell hittas fortfarande föremål för debatt.