Riemannhypotesen. Fördelning av primtal

År 1900, ett av de största vetenskapsmännen av förra seklet, David Hilbert gjort en lista bestående av 23 olösta problem i matematik. Arbetet med dem har haft en enorm inverkan på utvecklingen av detta område av mänsklig kunskap. Efter 100 år i Clay Mathematical Institute presenterade en lista på sju problem, så kallade mål tusenårsriket. För beslut av var och en av dem erbjöds priset på $ 1 miljon.

Det enda problemet, som var bland de två listorna av pussel, århundraden gav inte vila till forskare blev Riemannhypotesen. Hon väntar fortfarande på sitt beslut.

Kort biografisk information

Georg Friedrich Bernhard Riemann föddes 1826 i Hannover, i en stor familj av dålig pastor, och levde bara 39 år gammal. Han lyckades publicera 10 papper. Men under livet av Riemann han ansåg en efterföljare till sin lärare Johann Gauss. Vid 25 år ung forskare disputerade "Foundations of teorin för funktioner av en komplex variabel." Senare han formulerade sin hypotes, som blev känd.

primtal

Matematik kom när man lärt sig att räkna. Då uppstod den första idén av numren, som senare försökt att klassificera. Det har visat sig att en del av dem har gemensamma egenskaper. I synnerhet, bland de naturliga talen m. E. De som användes i beräkningen (numrering) eller den utsedda antalet artiklar har tilldelats en grupp av sådana, som är uppdelade endast efter en och sig själva. De kallades enkel. En elegant bevis på sats oändlig uppsättning siffror som ges av Euklides i hans "Elements". Just nu fortsätter vi deras sökning. I synnerhet, den största av ett antal kända ² 74207281 -. 1

Eulers formel

Tillsammans med begreppet oändligt många primtal Euclid definieras och den andra satsen är den enda möjliga faktorisering. Enligt det något positivt heltal är produkten av en enda uppsättning av primtal. Under 1737, den stora tyska matematikern Leonhard Euler uttryckte första Euklides sats på oändlighet av formel nedan.

Det kallas zetafunktion, där s - en konstant och p är alla enkla värden. Från den direkt följt och godkännande av det unika i utbyggnaden av Euklides.

Riemann zeta funktion

Eulers formel vid närmare inspektion är ganska anmärkningsvärt, som ges av förhållandet mellan den enkla och heltal. När allt i hennes vänstra sida multipliceras oändligt många uttryck som beror endast på enkla, och i rätt mängd är förknippad med alla positiva heltal.

Riemann fortsatte Euler. I syfte att hitta nyckeln på problemet med fördelningen av nummer, föreslås att definiera formeln för både den verkliga och komplexa variabeln. Det var hon som senare blev känd som Riemann zeta funktion. År 1859 forskare publicerade en artikel med rubriken "På antalet primtal som inte överskrider ett förutbestämt värde", som sammanfattade alla sina idéer.

Riemann föreslagit användningen av ett antal Euler, konvergent för alla verkliga s> 1. Om samma formel används för komplexa s, då serien kommer att konvergera för något värde på variabeln med den reella delen är större än 1. Riemann använde analytisk fortsättning av förfarandet genom att utvidga definitionen av zeta (er) av alla komplexa tal, men "kastar" enhet. Det var inte möjligt, eftersom om s = 1 zetafunktion ökar till oändligheten.

praktisk mening

Frågan uppstår: det som är intressant och viktig zetafunktion, vilket är avgörande i arbetet med Riemann på nollhypotesen? Som ni vet, just nu inte funnit ett enkelt mönster som beskriver fördelningen av primtal bland det naturliga. Riemann kunna upptäcka att antalet pi (x) av primtal, som inte är överlägsna x, uttrycks av distributionen av icke-triviala nollzetafunktion. Dessutom är Riemannhypotesen ett nödvändigt villkor för att bevisa temporära utvärderingar av vissa kryptografiska algoritmer.

Riemannhypotesen

En av de första formuleringarna av denna matematiska problem, inte visat sig i dag är: trivial 0 zetafunktion - komplexa tal med realdelen motsvarar ½. Med andra ord, är de anordnade på en rak linje Re s = ½.

Det finns också en allmän Riemannhypotesen, vilket är samma uttalande, men för generalisering av zetafunktioner, som kallas Dirichlet (se. Bilden nedan) L-funktioner.

I formeln χ (n) - en numerisk karaktär (mod k).

Riemann uttalande är den så kallade nollhypotesen, som har verifierats för överensstämmelse med de befintliga exempeldata.

Som jag argumenterade Riemann

Obs tyske matematikern ursprungligen formulerades ganska nonchalant. Faktum är att vid den tiden vetenskapsman skulle bevisa ett teorem om fördelningen av primtal, och i detta sammanhang inte denna hypotes inte mycket effekt. Dock är dess roll i att ta itu med de många andra frågor enorm. Det är därför Riemannhypotesen nu många forskare erkänner den viktiga av obevisade matematiska problem.

Som har sagts, för att bevisa satsen om fördelningen av hela Riemannhypotesen är inte nödvändigt, och helt logiskt bevisa att den reella delen av icke-trivial nollzetafunktionen är mellan 0 och 1. Denna egenskap innebär att summan av alla 0-m zetafunktion som visas i exakta formeln ovan - ändligt konstant. För stora värden på x, kan allt gå förlorad. Den enda medlemmen i den formel, som kommer att förbli oförändrad även vid mycket höga x, x är själv. Resten av de komplexa villkor i jämförelse med den asymptotiskt försvinna. Sålunda tenderar den viktade summan till x. Detta faktum kan betraktas som ett bevis på sanningen i primtalssatsen. Således nollor i Riemann zetafunktion visas en särskild roll. Det är att bevisa att dessa värden inte kan bidra avsevärt till expansions formel.

Riemann anhängare

Den tragiska död i tuberkulos förhindrade forskaren tillföra logiskt slutet av programmet. Men han tog över stafettpinnen från W-F. de la Vallée Poussin och Zhak Adamar. Oberoende av varandra att de hade dragit primtalssatsen. Hadamard och Poussin lyckats bevisa att alla nontrivial 0 zetafunktion ligger inom det kritiska bandet.

Tack vare arbetet i dessa forskare, en ny gren av matematiken - analytiska teorin om siffror. Senare har andra forskare fått lite mer primitiv bevis på sats arbetade i Rom. I synnerhet har Pal Erdös och Atle Selberg öppnas även bekräftar mycket komplex kedja av logik, inte kräver användning av komplex analys. Men vid denna punkt idén om Riemann av flera viktiga satser har bevisats, inklusive tillnärmning av många funktioner talteori. I samband med detta nya arbete Erdős och Atle Selberg påverkas inte nästan vad som helst.

Ett av de enklaste och mest vackra bevis på problemet har hittats i 1980 av Donald Newman. Den baserades på den välkända Cauchy sats.

Hotas om Riemann hypotes är grunden för modern kryptografi

Datakryptering uppstod med uppkomsten av tecken, eller snarare, kan de själva betraktas som den första koden. Just nu finns det en helt ny trend av digital kryptering, som är engagerad i utvecklingen av krypteringsalgoritmer.

Enkel och "semisimple" nummer m. E. De, som endast är uppdelade i två andra antal av samma klass, är grunden för ett publikt nyckelsystem, känd som RSA. Den har ett brett tillämpningsområde. I synnerhet är det som används i alstringen av en elektronisk signatur. Om vi talar i termer av den tillgängliga "tekanna", hävdar Riemannhypotesen förekomsten av systemet i fördelningen av primtal. Sålunda avsevärt minskat motstånd av kryptografiska nycklar, på vilken beror säkerheten för online-transaktioner i e-handel.

Andra olösta matematiska problem

Hela artikeln är värt att ägna några ord till andra uppgifter millennieskiftet. Dessa inkluderar:

• Lika klasser P och NP. Problemet är formulerat på följande sätt: Om ett positivt svar på en särskild fråga kontrolleras polynomisk tid, är det då sant att han själv svara på denna fråga kan hittas snabbt?
• Hodges förmodan. Enkelt uttryckt kan man konstatera följande: för vissa typer av projektiva algebraiska mångfalder (mellanslag) Hodge cykler är kombinationer av objekt som har en geometrisk tolkning, det vill säga algebraiska cykler ...
• Poincarés förmodan. Det är den enda bevisat vid tillfället millennium problem. Enligt den någon tredimensionellt objekt som har specifika egenskaper hos den 3-dimensionella sfären, måste sfären ha en noggrannhet på deformation.
• Godkännande av kvant Yang - Mills teori. Vi måste bevisa att kvantteorin, som lagts fram av dessa forskare till utrymmet R ^4, det finns en 0-massdefekt för någon enkel kalibrering av en kompakt grupp G.
• Hypotesen om Birch - Swinnerton-Dyer. Detta är ett annat problem som är relevant för kryptografi. Det handlar om de elliptiska kurvor.
• Problemet med existens och jämnhet av lösningar av Navier - Stokes ekvationer.

Nu vet du Riemannhypotesen. Enkelt uttryckt har vi formulerat och några av de andra målen för millennieskiftet. Det faktum att de kommer att lösas eller det har bevisats att de inte har någon lösning - det är en tidsfråga. Och det är osannolikt att behöva vänta alltför länge, eftersom matematik använder sig alltmer av beräkningskraft av datorer. Men det är inte allt föremål för konst och för att lösa vetenskapliga problem i första hand kräver intuition och kreativitet.