Diagonal liksidig trapets. Vad är den mellersta raden i trapets. Olika typer av trapetser. Trapeze - det ..

Trapezoid är ett speciellt fall av en fyrkantig, i vilken ett par sidor är parallella. Termen "trapezoid" kommer från det grekiska ordet τράπεζα, vilket betyder "bord", "bord". I den här artikeln kommer vi att titta på trapeziumtyperna och dess egenskaper. Dessutom kommer vi att förstå hur man beräknar de enskilda elementen i denna geometriska figur. Exempelvis är diagonalen av ett jämsidigt trapezium, mellanlinjen, området etc. Materialet beskrivs i stil med elementär populär geometri, dvs i en lättillgänglig form.

Allmän information

Låt oss först se vad en fyrkantig är. Denna siffra är ett speciellt fall av en polygon som innehåller fyra sidor och fyra toppunkter. Två hörn av en fyrkant som inte angränsar kallas motsatta hörn. Samma sak kan sägas om de två icke sammanhängande sidorna. Huvudtyperna av fyrkantiga sidor är ett parallellogram, en rektangel, en rhombus, en fyrkant, en trapezoid och en deloid.

Så tillbaka till trapezoiden. Som vi redan har sagt har denna siffra två sidor som är parallella. De kallas baser. De andra två (icke-parallella) är sidorna. I provmaterialet och olika test är det mycket ofta möjligt att uppfylla de uppgifter som är förknippade med trapezoider, vars lösning ofta kräver att studenten har kunskaper som inte tillhandahålls av programmet. Skolan i geometri introducerar eleverna till egenskaperna av vinklar och diagonaler, liksom mellanlinjen i ett jämnt trapezium. Men trots allt har den nämnda geometriska figuren andra egenskaper. Men om dem senare ...

Typer av trapezoid

Det finns många typer av denna figur. Men två av dem brukar anses vara likformiga och rektangulära.

1. En rektangulär trapezoid är en figur där en av sidosidorna är vinkelrät mot baserna. Den har två vinklar alltid lika med nittio grader.

2. En isosceles trapezoid är en geometrisk figur vars sidor är lika med varandra. Detta innebär att vinklarna på baserna också är lika i par.

Huvudprinciperna för tekniken för att studera trapesegenskaperna

Huvudprincipen är användningen av det så kallade problemmetoden. Faktum är att det inte finns något behov av att introducera nya egenskaper av denna figur i den teoretiska geometriska kursen. De kan öppnas och formuleras i processen att lösa olika problem (bättre system). Samtidigt är det väldigt viktigt att läraren vet vilka uppgifter som ska ställas inför skolbarnen vid ett eller annat tillfälle i skolprocessen. Dessutom kan varje trapeziumegenskap representeras som en nyckeluppgift i arbetssystemet.

Den andra principen är den så kallade spiralorganisationen för att studera de "anmärkningsvärda" trapeziumegenskaperna. Detta innebär en återgång i inlärningsprocessen till de enskilda egenskaperna hos den givna geometriska figuren. Således är eleverna lättare att komma ihåg. Till exempel egenskapen av fyra poäng. Det kan bevisas både i studien av likhet och senare med hjälp av vektorer. Och likvärdigheten av trianglarna intill sidorna av figuren kan bevisas genom att inte bara tillämpa egenskaperna hos trianglar med samma höjder som dras mot sidor som ligger på en linje men också med formeln S = 1/2 (ab * sinα). Dessutom kan man utarbeta sinus teorem på en inskriven trapezoid eller en rät vinklad triangel på trapeziet som beskrivs, och så vidare.

Användningen av "icke-programmatiska" funktioner i den geometriska figuren i innehållet i skolkursen är en försiktig teknik för sin undervisning. Konstant överklagande till de studerade egenskaperna i övergången till andra ämnen gör det möjligt för eleverna att bättre förstå trapesen och säkerställa framgången med att lösa uppgiften. Så, låt oss börja studera denna anmärkningsvärda figur.

Element och egenskaper hos en isosceles trapezoid

Som vi redan har noterat är sidorna lika i denna geometriska figur. Hon är också känd som rätt trapezoid. Och varför är det så anmärkningsvärt och varför fick det ett sådant namn? Egenheten hos den här siffran är att inte bara sidorna och hörnen av baserna är lika, men också diagonalerna. Dessutom är summan av vinklarna för en isosceles trapezoid 360 grader. Men det är inte allt! Av alla kända trapezoider kan bara kring en isosceles beskriva en cirkel. Detta beror på det faktum att summan av motsatta vinklar i denna figur är 180 grader, men endast under sådant tillstånd är det möjligt att beskriva cirkeln runt fyrsidan. Den närmaste egenskapen hos den geometriska figuren i fråga är att avståndet från överst på basen till utsprånget av det motsatta vertexet till linjen som innehåller denna bas kommer att vara lika med mittlinjen.

Och nu låt oss ta reda på hur man hittar vinklarna av en likadana trapezform. Låt oss överväga lösningen av detta problem, förutsatt att dimensionerna på sidorna av figuren är kända.

Lösningen

Vanligtvis betecknas en fyrkant med bokstäverna A, B, C, D, där BS och AD är baserna. I isosceles trapeziet är sidorna lika. Vi antar att deras storlek är lika med X, och storleken på baserna är lika med Y och Z (mindre respektive större). För att utföra beräkningen är det nödvändigt att dra höjden H. från vinkeln B. Därför har vi en rektangulär triangel ABN, där AB är hypotenus och BN och AN är benen. Vi beräknar storleken på AN: från den större basen subtraherar vi den minsta och delar upp resultatet med 2. Vi skriver i form av formeln: (ZY) / 2 = F. För att beräkna den akuta vinkeln på triangeln använder vi funktionen cos. Vi får följande notering: cos (β) = X / F. Beräkna nu vinkeln: β = arcos (X / F). Vidare vet vi ett hörn, vi kan definiera andra, för det här gör vi den elementära aritmetiska åtgärden: 180 - β. Alla vinklar definieras.

Det finns också en andra lösning på detta problem. I början sänker vi höjden H från vinkel B. Vi beräknar värdet av BN-katego- rien. Vi vet att kvadraten av hypotenusen i en rätt triangel är lika med summan av kvadraterna på benen. Vi får: BN = √ (X2-F2). Därefter använder vi den trigonometriska funktionen tg. Som ett resultat har vi: β = arctg (BN / F). Akut vinkel finns. Därefter definierar vi den stumpa vinkeln på samma sätt som den första metoden.

Egenskapen av diagonaler av en isosceles trapezoid

Först skriver vi ner fyra regler. Om diagonalerna i ett isosceles trapez är vinkelräta, då:

- Höjden på figuren kommer att vara lika med summan av baserna dividerad med två;

- dess höjd och mittlinje är lika

- Trapesformens område kommer att vara lika med höjdpunkten (mittlinjen, halva summan av baserna);

- Kvadraten av diagonalen är lika med halva kvadraten av summan av baserna eller till den dubbla kvadraten av mittlinjen (höjd).

Nu betraktar vi formlerna som bestämmer diagonalen för ett jämsidigt trapezium. Detta informationsblock kan delas upp i fyra delar:

1. Formeln för längden på diagonalen över dess sidor.

Antag att A är bottenbasen, B är toppen, C är lika sidor och D är diagonalen. I detta fall kan längden bestämmas enligt följande:

D = √ (C2 + A * B).

2. Formeln för längden på diagonalen av cosinus teorem.

Antag att A är bottenbasen, B är toppen, B är översidan, D är diagonalen, α (vid bottenbasen) och β (vid övre basen) är de trapezformade vinklarna. Vi får följande formler, genom vilka vi kan beräkna längden på diagonalen:

- Д = √ (А2 + С2-2А * С * cosα);

- Д = √ (А2 + С2-2А * С * cosβ);

- Д = √ (В2 + С2-2В * С * cosβ);

- Д = √ (В2 + С2-2В * С * cosα).

3. Formel för längden av diagonaler av en isosceles trapezoid.

Antag att A är bottenbasen, B är toppen, D är diagonalen, M är mittlinjen, H är höjden, P är trapeziumområdet och a och β är vinklarna mellan diagonalerna. Bestäm längden på följande formler:

- D = √ (M2 + H2);

- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (H (A + B) / sinα) = √ (2P / sinα) = √ (2M * H / sinα).

För detta fall är jämlikheten: sinα = sinβ.

4. Diagonal längd formler genom sidor och höjd.

Antag att A är bottenbasen, B är toppen, C är sidan, D är diagonalen, H är höjden och α är vinkeln med bottenbasen.

Bestäm längden på följande formler:

- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);

- Д = √ (Н2 + (В + Р * ctgα) 2);

- Д = √ (А2 + С2-2А * √ (С2-Н2)).

Element och egenskaper hos en rektangulär trapezoid

Låt oss titta på vad som är intressant om denna geometriska figur. Som vi redan har sagt har en rektangulär trapezoid två rätvinklar.

Förutom den klassiska definitionen finns det andra. Exempelvis är en rektangulär trapezoid en trapezoid i vilken en sida är vinkelrätt mot baserna. Eller en siffra med rät vinklar vid sidan. I denna typ av trapez är höjden lika med sidosidan, som är vinkelrätt mot baserna. Mellanlinjen är det segment som förbinder mitten av de två sidorna. Egenskapen för elementet som nämns är att det är parallellt med baserna och är lika med hälften av deras summa.

Låt oss nu titta på de grundläggande formlerna som definierar denna geometriska figur. För detta antar vi att A och B är baser; C (vinkelrätt mot baserna) och D - sidorna av den rektangulära trapezoiden, M - mittlinjen, a - akut vinkel, P - yta.

1. Sidosidan vinkelrätt mot baserna är lika med höjden på figuren (C = H) och är lika med produkten av längden på den andra sidan D och vinkeln sinus a för en större bas (C = D * sinα). Dessutom är den lika med produkten av tangenten hos den akuta vinkeln a och skillnaden i baserna: C = (A-B) * tgα.

2. Sidan D (inte vinkelrätt mot baserna) är lika med den särskilda skillnaden A och B och cosinusen (α) för den akuta vinkeln eller partiellhöjden på figuren H och sinus av den akuta vinkeln: D = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. Sidan som är vinkelrät mot baserna är lika med kvadratroten av skillnaden mellan kvadraten av D-den andra sidan och kvadraten av skillnaden i baserna:

C = √ (A2- (A-B) 2).

4. Sidans D av den rektangulära trapetsen är lika med kvadratroten av summan av kvadraten på sidan C och kvadraten av skillnaden i basen av den geometriska figuren: D = √ (C2 + (AB) 2).

5. Sidan C är lika med kvoten för att dividera dubbelområdet med summan av dess baser: C = П / М = 2П / (А + Б).

6. Området bestäms av produkten M (den rektangulära trapetsens mittlinje) till höjden eller sidosidan vinkelrätt mot baserna: П = М * Н = М * С.

7. Sidan C är lika med kvoten för att dividera det dubbla området i figuren med produkten av sinusens akutvinkel och summan av dess baser: C = П / М * sinα = 2П / ((А + Б) * sinα).

8. Formlerna på den laterala sidan av ett rektangulärt trapezium genom dess diagonaler och vinkeln mellan dem:

- sinα = sinβ;

- C = (A1 * A2 / (A + B)) * sinα = (A1 * A2 / (A + B)) * sinβ,

Där D1 och D2 är trapesens diagonaler; Α och β är vinklarna mellan dem.

9. Formuler av sidosidan genom vinkeln vid bottenbasen och andra sidor: D = (AB) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Eftersom trapezoiden med rätt vinkel är ett speciellt fall av en trapezoid, kommer resten av formlerna som definierar dessa figurer också att motsvara en rektangulär.

Inskrivna cirkelegenskaper

Om villkoret säger att en cirkel är inskriven i en rektangulär trapets, kan du använda följande egenskaper:

- summan av baserna är lika med summan av sidosidorna;

- Avstånden från toppen av den rektangulära figuren till punkterna för den inskrivna cirkelns tangent är alltid lika;

- Trapezans höjd är lika med sidosidan, vinkelrätt mot baserna, och är lika med cirkelns diameter ;

Centrera av cirkeln är den punkt vid vilken bisektorerna av vinklarna skär

- Om sidosidan är uppdelad av tangentpunkten i segment H och M, är cirkelns radie lika med kvadratroten av produkten av dessa segment;

- En fyrkant som bildas av tangentens tangent, trapezets vertex och den inskriven cirkelns mitt är en kvadrat vars sida är lika med radien;

- området i figuren är lika med basprodukten och produkten av halva summan av baserna till dess höjd.

Liknande trapezier

Detta ämne är mycket praktiskt för att studera egenskaperna hos denna geometriska figur. Exempelvis delar diagonalerna trapezoiden i fyra trianglar, de intilliggande baserna är likartade och sidorna är lika. Detta uttalande kan kallas egenskapen hos trianglar, till vilken trapeziden är uppdelad av dess diagonaler. Den första delen av denna påstående bevisas genom likhetskriteriet i två vinklar. För att bevisa den andra delen är det bättre att använda metoden som anges nedan.

Bevis på stämningen

Vi antar att ABSD-mönstret (AD och BS - den trapesformiga basen) bryts av diagonalerna VD och AC. Korspunkten är O. Vi får fyra trianglar: AOS - på bottenbasen, BOS - på den övre basen, ABO och SOD vid sidosidorna. Trianglarna av SOD och BFD har en gemensam höjd i fallet när segmenten BD och OD är deras baser. Vi får att skillnaden i sina områden (Π) är lika med skillnaden i dessa segment: ΠС / / ПСОД = = = / / / Д = = Следовательно. Därför LDPE = NSP / K. På samma sätt har trianglarna BF och AOB en gemensam höjd. Vi tar CO och OA-segmenten som baser. Vi får PBO / PAOB = CO / OA = K och PAOB = PBO / K. Av detta följer att PSCM = PAOB.

För att fixa materialet uppmanas eleverna att hitta en koppling mellan områdena i de resulterande trianglarna, till vilka trapeziet är uppdelat med diagonalerna och löser följande problem. Det är känt att trianglarna i BF- och ADN-områdena är lika, det är nödvändigt att hitta trapesformens område. Eftersom LDPE = PAOB betyder det att PABSD = PBO + PAOJD + 2 * PODC. Ur likheten mellan trianglarna av BFU och AOD följer det att BD / DD = √ (PBO / PAOD). Följaktligen BSP / DPPM = BW / DD = √ (PBO / PAOD). Vi får LDP = √ (PBO * PAOD). Då PABSD = PBO + PAOAD + 2 * √ (PAO * PAOD) = (√POPS + √PAOOD) 2.

Likhetsegenskaper

Fortsatt utveckla detta ämne, det är möjligt att bevisa andra intressanta trapesformiga egenskaper. Med hjälp av likhet kan vi sålunda bevisa egenskapen hos ett segment som passerar genom en punkt som bildas av skärningen mellan diagonalerna i denna geometriska figur parallellt med baserna. För att göra detta löser vi följande problem: det är nödvändigt att hitta längden på segmentet PK som passerar genom punkten O. Från likheten av trianglarna ADD och BFD följer det att AO / OC = AD / BS. Ur likheten mellan trianglarna AOP och ASB följer det att AO / AC = PO / BS = AD / (BS + AD). Härav får vi det PO = BC * AD / (BS + AD). På samma sätt följer av likheten mellan trianglarna DKK och DBS att OK = BS * AD / (BS + AD). Av detta följer att PO = OK och PK = 2 * BS * AD / (BS + AD). Segmentet som passerar genom skärningspunkten för diagonalerna parallellt med baserna och förbinder de två sidopunkterna delas av skärningspunkten i hälften. Dess längd är den genomsnittliga harmoniska grunden för figuren.

Tänk på följande trapezidkvalitet, som kallas egenskapen för fyra punkter. Korsningspunkterna för diagonalerna (O), korsningen av förlängningen av sidosidorna (E) och även mitten av baserna (T och M) ligger alltid på en linje. Detta bevisas enkelt av likhetsmetoden. De trianglarna BEC och AED som erhållits är likartade, och i var och en av dem delar medianerna ET och EF vinkeln vid E-vertexet i lika delar. Följaktligen ligger punkterna E, T och M på en linje. På exakt samma sätt ligger punkterna T, 0 och M på en rak linje. Allt detta följer av likheten hos trianglarna BOS och AOD. Därför drar vi slutsatsen att alla fyra punkterna - E, T, O och M - ligger på en rak linje.

Med hjälp av liknande trapezer kan du be studenterna hitta längden på segmentet (LF), vilket bryter siffran i två liknande. Detta segment måste vara parallellt med baserna. Eftersom de erhållna trapezoiderna av ALFD och LBSF är lika, då BS / LF = LF / AD. Det följer att LF = √ (BS * AD). Vi får att segmentet som delar trapezoiden i två liknande, har en längd som är lika med den genomsnittliga geometriska längden på basen av figuren.

Tänk på följande likhets egendom. Den är baserad på det segment som delar trapets i två lika stora bitar. Acceptera att trapets ABSD segment är uppdelat i två liknande EH. Från toppen av B sänkte höjden av det segmentet är uppdelad i två delar SV - B1 och B2. Erhålla PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Ytterligare komponera systemet, varvid den första ekvationen (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * B2 och andra (BS + EH) * B1 = (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Det följer att B2 / B1 = (BS + EH) / (BP + EH) och BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Vi finner att längden på dividera trapetsen på två lika, lika med den genomsnittliga längden av de kvadratiska baser: √ ((CN2 + AQ2) / 2).

likhets slutsatser

Därför har vi bevisat att:

1. segment som förbinder mitten av trapetsen vid de laterala sidorna, parallellt med BP och BS och BS är det aritmetiska medelvärdet och BP (baslängd av en trapetsoid).

2. Stången passerar genom punkten O i skärningspunkten mellan diagonalerna parallella AD och BC kommer att vara lika med det harmoniska medelvärdet nummer BP och BS (2 * BS * AD / (AD + BC)).

3. Segmentet bryta i liknande trapetsoiden har en längd geometriskt medelvärde baser BS och BP.

4. Elementet som delar formen i två lika stora, en längd betyda fyrkantiga nummer BP och BS.

Att konsolidera materialet och medvetenhet om kopplingarna mellan delar av studenten är nödvändigt att bygga dem för den specifika trapets. Han kan enkelt visa den genomsnittliga linjen och det segment som passerar genom punkten - i skärningspunkten mellan diagonalerna figurerna - parallellt med marken. Men där blir det tredje och fjärde? Detta kommer att leda studenten till upptäckten av det okända förhållandet mellan medelvärdena.

Segmentet mellan mittpunkterna i diagonaler trapetsen

Betrakta följande egenskapen hos figuren. Vi accepterar att segmentet MN är parallell med baser och dela på hälften diagonalt. skärningspunkten kallas W och S. Detta segment kommer att vara lika med hälften av skillnaden skäl. Låt oss undersöka detta mer i detalj. MSH - den genomsnittliga linjen av triangeln ABS, är det lika med BS / 2. Minigap - mittlinjen av triangeln DBA, är det lika med AD / 2. Då finner vi att SHSCH = minigap-MSH därför SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

tyngdpunkt

Låt oss titta på hur man definierar elementet för en given geometrisk figur. För att göra detta måste du förlänga basen i motsatta riktningar. Vad betyder det? Det är nödvändigt att lägga till basen till den övre botten - för någon av parterna, till exempel till höger. En nedre förlänga längden av den övre vänstra. Därefter ansluta sin diagonal. Skärningspunkten av detta segment med centrumlinjen i figuren är den tyngdpunkt trapetsen.

Inskriven och beskrivna trapets

Låt oss lista innehåller sådana siffror:

1. Linje kan skrivas in i en cirkel endast om det är likbent.

2. Runt cirkeln kan beskrivas som en trapetsoid, förutsatt att summan av längderna av deras baser är summan av längderna av sidorna.

Konsekvenser av den inskrivna cirkeln:

1. Höjden av trapetsoiden beskrivna alltid lika med två gånger radien.

2. Den sida av trapetsoiden beskrivna betraktas från centrum av cirkeln i rät vinkel.

Den första konsekvensen är uppenbar, och för att bevisa den andra krävs för att fastställa att vinkeln SOD är direkt, det vill säga i själva verket inte också vara lätt. Men kunskapen om den här egenskapen kan du använda en rätvinklig triangel för att lösa problem.

Nu har vi anger konsekvenserna för den likbenta trapets, som är inskrivet i en cirkel. Erhåller vi att höjden är de geometriska medel figur baser: H = 2R = √ (BS * BP). Uppfylla grundläggande sätt att lösa problem för trapetser (principen om två höjder), måste studenten lösa följande uppgift. Acceptera att BT - höjden av likbenta siffror ABSD. Du måste hitta sträckor av AT och AP. Tillämpa formeln som beskrivits ovan kommer att göra är inte svårt.

Låt oss nu förklara hur man bestämmer radien av cirkeln från området beskrivs trapets. Utelämnas från topp B höjd på basen BP. Eftersom cirkel inskriven i trapetsen, BS + 2AB = BP eller AB = (BS + BP) / 2. Från triangeln ABN find sin a = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Erhålla PABSD = (BP + BS) * R, följer det att R = PABSD / (AD + BC).

.

Alla formler mittlinjen trapets

Nu är det dags att gå till den sista posten i denna geometrisk figur. Vi kommer att förstå, vad är den mellersta raden av trapets (M):

1. Genom baser: M = (A + B) / 2.

2. Efter höjden, basen och hörnen:

• M-H = A * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Genom en höjd och diagonal vinkel däremellan. Till exempel, D1 och D2 - diagonal trapetsen; α, β - vinkeln mellan dem:

M = D1 * D2 * sin a / 2 H = D1 * D2 * sinp / 2H.

4. Inom området och höjd: M = R / N.