Grundläggande begrepp inom sannolikhetsteori. Lagstiftningen i sannolikhetsteori

Många människor, när man står inför begreppet "sannolikhetsteori", rädd och tänkte att det är något oacceptabelt, mycket svårt. Men det är faktiskt inte så tragiskt. Idag tittar vi på de grundläggande koncepten i sannolikhetsteori, lära sig att lösa problem genom konkreta exempel.

vetenskap

Vad studerar en gren av matematiken som en "sannolikhetsteori"? Det noterar mönster av slumpmässiga händelser och variabler. För första gången frågan om Concerned Scientists på sjuttonhundratalet, då studerade spel. Grundläggande begrepp i sannolikhetsteori - Event. Det är något att anges genom erfarenhet eller observation. Men vad är erfarenhet? En annan grundläggande begreppet teorin om sannolikhet. Det innebär att denna del av omständigheterna inte oavsiktligt skapas, och med ett syfte. När det gäller övervakning, det finns forskaren själv inte deltar i upplevelsen, utan helt enkelt ett vittne till dessa händelser, har det ingen effekt på vad som händer.

händelser

Vi lärde oss att det grundläggande begreppet sannolikhetsläran - händelsen, men inte ansåg klassificering. Alla av dem är indelade i följande kategorier:

• Pålitlig.
• Omöjligt.
• Slumpmässigt.

Oavsett vad händelsen är, som besöks eller skapas inom ramen för experimentet, de påverkas av denna klassificering. Vi erbjuder alla typer av träffas separat.

viss händelse

Detta är ett faktum som att göra nödvändiga uppsättning aktiviteter. För att bättre förstå essensen, är det bättre att ge några exempel. Detta är underordnad lagen och fysik, kemi, ekonomi och högre matematik. sannolikhetsteori innehåller ett så viktigt begrepp som en viktig händelse. Här är några exempel:

• Vi arbetar och får ersättning i form av lön.
• Väl klarat proven, passerade en tävling för att få ersättning i form av tillträde till en utbildningsinstitution.
• Vi har investerat pengar på banken, får tillbaka dem om det behövs.

Sådana händelser är sanna. Om vi har uppfyllt alla nödvändiga villkor, vara säker på att få det förväntade resultatet.

omöjligt händelse

Nu anser vi delar av teorin om sannolikhet. Vi erbjuder att gå till förtydliganden i följande typer av händelser - det vill säga det omöjliga. För att starta föreskriver den viktigaste regeln - sannolikheten för en omöjlig händelse är noll.

Från denna formulering inte kan göras undantag för att lösa problem. För att illustrera exempel på sådana händelser:

• Vatten fryses vid en temperatur på plus tio (det är omöjligt).
• Bristen på elektricitet påverkar inte produktionen (lika omöjligt som i föregående exempel).

Fler exempel ges inte är nödvändigt, såsom beskrivits ovan mycket tydligt speglar det väsentliga i denna kategori. Omöjligt händelse inträffar aldrig under försöket under några omständigheter.

slumpmässiga händelser

Genom att studera de delar av sannolikhetsteori, bör särskild uppmärksamhet ägnas åt viss typ av händelse. Dessa är de som studerar denna vetenskap. Som en följd av erfarenheterna från något kan hända eller inte. Dessutom testet ett obegränsat antal gånger kan utföras. Noterbara exempel inkluderar:

• Kasta myntet - det är en upplevelse, eller testa, förlust av en örn - denna händelse.
• Dra bollen ur påsen blint - test fångades röd boll - den här händelsen och så vidare.

Sådana exempel kan vara ett obegränsat antal, men i allmänhet, skall förstås. För att sammanfatta och systematisera förvärvade kunskaper om händelserna i en tabell. sannolikhetsteori studier endast den senare typen av allt presenteras.

lagar

Sannolikhetsteori - den vetenskap som studerar möjligheten att förlusten av någon händelse. Liksom de andra, har vissa regler. Följande lagar sannolikhetsteori:

• Konvergensen av sekvenser av slumpmässiga variabler.
• Den stora talens lag.

Vid beräkning av möjligheten av en komplex kan användas komplexa enkla händelser för att uppnå resultat enklare och snabbare sätt. Det bör noteras att lagarna i sannolikhetsteori kan lätt bevisas med hjälp av några av de satser. Vi föreslår att börja bekanta sig med den första lagen.

Konvergensen av sekvenser av slumpmässiga variabler

Observera att konvergensen av flera typer:

• Sekvensen av slumpmässiga variabler konvergens i sannolikhet.
• Nästan omöjligt.
• RMS konvergens.
• Konvergens inom distribution.

Så i farten, är det mycket svårt att få grepp om det väsentliga. Här är definitioner som hjälper att förstå ämnet. Till att börja med den första titt. Sekvensen kallas konvergens i sannolikhet, om följande villkor: n närmar sig oändligheten, är numret söks av sekvensen är större än noll och nära aggregatet.

Gå till nästa vy, nästan säkert. De säger att sekvensen konvergerar nästan säkert till en slumpmässig variabel med n tenderar mot oändligheten, och R, som strävar att ett värde nära ett.

Nästa typ - en konvergens av RMS. Vid användning av SC-learning konvergens av vektorslump processer minskar till studiet av slump samordna processer.

Var den sista typen, låt oss titta kort stund och gå direkt till lösningen av problemen. Konvergens inom distribution har ett annat namn - "svag", sedan förklara varför. Svag konvergens - är konvergensen av fördelningsfunktioner på alla punkter av kontinuitet funktionsgräns fördelnings.

Var noga med att hålla löftet: svag konvergens skiljer sig från alla ovanstående att den slumpmässiga variabeln inte är definierad på sannolikheten utrymme. Detta är möjligt eftersom villkoret är bildat uteslutande använder fördelningsfunktioner.

Lagen om stora tal

Stor hjälpare i bevis på lagen kommer att satser av sannolikhetsteori, till exempel:

• Chebyshev ojämlikhet.
• Chebyshev sats.
• Generaliserad Chebyshev sats.
• Markov sats.

Om vi betraktar alla dessa satser, då frågan kan ta flera tiotals ark. Vi har den viktigaste uppgiften - är tillämpningen av sannolikhetsteori i praktiken. Vi erbjuder dig just nu och göra det. Men innan vi överväga axiom i sannolikhetsteori, de är viktiga partner i att lösa problem.

axiom

Från den första har vi redan sett, när man talar om det omöjliga händelsen. Låt oss komma ihåg: sannolikheten för en omöjlig händelse är noll. Exempel vi gav en mycket levande och minnesvärd: snön föll vid en lufttemperatur trettio grader Celsius.

Den andra är som följer: en viss händelse inträffar med sannolikhet enhet. Nu ska vi visa hur det är skrivet med hjälp av matematiska språk: P (B) = 1.

Tredje: En slumpmässig händelse kan inträffa eller inte, men möjligheten finns alltid varierar från noll till ett. Ju närmare det är att enighet, desto fler chanser; om värdet är nära noll, är sannolikheten mycket låg. Vi skriver detta i matematiskt språk: 0

Betrakta den sista, fjärde axiom, det vill säga: summan av sannolikheten för två händelser är lika med summan av deras sannolikheter. Skriva matematiska termer: P (A + B) = P (A) + P (B).

Axiom i sannolikhetsteori - är det en enkel regel som inte kommer att bli svårt att komma ihåg. Låt oss försöka lösa vissa problem, som bygger på redan förvärvade kunskaper.

lott

Först överväga det enklaste exemplet - ett lotteri. Föreställ dig att du köpt en lott för lycka. Vad är sannolikheten att du kommer att vinna minst tjugo rubel? Total omsättning är involverad i tusen biljetter, varav den ena har ett pris på fem hundra rubel, tio hundra rubel, tjugo och femtio rubel, och ett hundratal - fem. Uppgiften för teorin om sannolikhet baserat på hur man hitta ett sätt att lycka. Nu tillsammans analyserar vi beslutet ovan Uppgifter vyn.

Om vi betecknar med ett pris av femhundra rubel, då är sannolikheten för A är lika med 0.001. Hur får vi? behöver bara antalet "lyckliga" biljetter dividerat med det totala antalet (i detta fall: 1/1000).

I - en vinst på hundra rubel, kommer sannolikheten att vara lika med 0,01. Nu har vi agerat på samma sätt som den senaste åtgärden (10/1000)

C - payoff är tjugo rubel. Hitta sannolikheten är det lika med 0,05.

Resten av biljetterna vi inte är intresserade, eftersom deras prispengar är mindre än vad som anges i det skick. Applicera kvart axiom: Sannolikheten att vinna minst tjugo rubel är P (A) + P (B) + P (C). Bokstaven P betecknar sannolikheten för ursprunget av händelsen, har vi i föregående steg redan hittat dem. Det återstår bara att fastställa de nödvändiga uppgifter, den respons vi får 0,061. Detta nummer kommer att vara svaret på frågan om jobben.

Kortlek

Problem på sannolikhetsteori, det finns också mer komplex, till exempel, ta nästa jobb. Innan du däck trettiosex kort. Din uppgift - att dra två kort i rad, utan att blanda högen, den första och andra kort måste vara ess, kostymer spelar ingen roll.

Till att börja hitta sannolikheten att det första kortet är ett ess, denna klyfta med fyra och trettiosex. Den åt sidan. Vi får ett andra kort är ett ess med sannolikheten för 335:e. Sannolikheten för den andra händelsen beror på vilket kort vi drog den första, vi är intresserade av, det var ett ess eller inte. Av detta följer att i händelse beror på händelsen A.

Nästa steg vi hittar sannolikheten för samtidigt genomförande, dvs multiplicera A och B. Deras arbete är följande: sannolikheten för en händelse multiplicerat med den villkorliga sannolikheten för en annan, vi beräkna, förutsatt att den första händelsen har inträffat, det vill säga det första kortet vi drog ett ess.

För att bli allt är klart, ge beteckningen sådant element som den villkorade sannolikheten för händelsen. Det beräknas genom att anta att händelsen A hände. Den beräknas enligt följande: P (B / A).

Vi utvidga lösningen till vårt problem: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) eller P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). Sannolikheten är (4/36) _* ((3/35) / (4/36) beräknas genom avrundning till närmaste hundradel Vi har: .. 0,11 _* (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09. sannolikheten att vi dra ut två ess i rad är lika med nio hundra. värdet är mycket liten, det följer att sannolikheten för en händelse inträffar är extremt låg.

glömt rum

Vi erbjuder urskilja några fler alternativ för jobb som studerar teorin om sannolikhet. Exempel på lösningar på några av de som du har sett i den här artikeln, försöka lösa följande problem: Pojken glömde telefonnumret till den sista siffran i sin vän, men eftersom samtalet var mycket viktigt, började sedan att plocka upp i tur och ordning. Vi behöver beräkna sannolikheten för att han skulle kalla högst tre gånger. den enklaste lösningen på problemet, om du känner till reglerna, lagar och axiom i sannolikhetsteori.

Innan du ser en lösning, försöka lösa på egen hand. Vi vet att den senare siffran kan vara från noll till nio, för totalt tio värden. Sannolikhet poäng som krävs är 1/10.

Nästa vi måste överväga alternativ för ursprunget av händelserna, låt oss anta att pojken gissat rätt och vann rätt, är sannolikheten för sådana händelser är lika med 1/10. Det andra alternativet: det första samtalet slip och andra mål. Vi beräknar sannolikheten för sådana händelser: 9/10 multiplicerat med 1/9 i slutändan får vi som 1/10. Det tredje alternativet: den första och andra samtalet visade sig vara fel adress, bara den tredje pojken var där han ville. Beräkna sannolikheten för sådana händelser: 9/10 multiplicerat med 8/9 och 1/8, vi får som ett resultat av 1/10. Andra alternativ under förutsättning av problemet vi inte är intresserade, förblir detta för oss att fastställa dessa resultat i slutändan har vi en 3/10. Svar: Sannolikheten att en pojke skulle kalla högst tre gånger, lika med 0,3.

Kort med siffror

Innan du nio kort, som vart och ett är skriven ett tal från en till nio, är siffrorna inte upprepas. De satte i en låda och blanda väl. Du behöver beräkna sannolikheten för att

• rullas ett jämnt antal;
• Ett tvåsiffrigt.

Innan vi går vidare till beslutet anges att m - är antalet lyckade fall och n - är det totala antalet optioner. Låt oss finna sannolikheten att antalet är jämnt. Är det inte svårt att räkna ut att jämna nummer fyra, och det är vår m, alla nio möjliga alternativ, det vill säga m = 9. Då sannolikheten är lika med 0,44 eller 4/9.

Vi anser det andra fallet, antalet varianter av nio, och ett lyckat resultat kan inte vara alls, det vill säga m noll. Sannolikheten för att det långsträckta kortet kommer att innehålla ett tvåsiffrigt nummer, som noll.