Som tangerar cirkeln? Egenskaperna hos den tangent till cirkeln. Den gemensamma tangenten till de två cirklarna

Secants, tangenter - allt detta hundratals gånger kunde höras på geometri lektioner. Men frågan om skolan bakom passera år, och allt detta kunskap glömt. Vad ska jag tänka?

essens

Termen "tangerar cirkeln" tecken, kanske, allt. Men det är osannolikt att alla snabbt kommer att formulera en definition. Under tiden kallas en tangentlinje som ligger i samma plan som den cirkel, som skär den vid endast en punkt. Deras myriad kan finnas, men de har alla samma egenskaper, som kommer att diskuteras nedan. Som du kan gissa, kontaktpunkten avses den plats där cirkeln och linjen skär. I varje fall är det en, om det finns mer, då blir det tvärgående.

Historien om upptäckten och studier

Begreppet tangent dök upp i antiken. Konstruktionen av dessa linjer till den första cirkeln, och sedan till ellipser, parabler och hyperbler med en linjal och kompass hålls fortfarande i ett tidigt skede av utvecklingen av geometri. Naturligtvis har historien bevaras inte namnet på upptäckaren, men det är klart att även vid den tiden folk var väl kända egenskaper tangerar cirkeln.

I modern tid har intresset för detta fenomen bröt ut igen - började en ny omgång av studier av detta begrepp i samband med öppnandet av nya kurvor. Således infördes Galileo begreppet cykloid och Fermat och Descartes byggt en tangent till den. När det gäller kretsar, tycks det, är för de gamla hemligheter kvar i detta område.

egenskaper

Radius dras till skärningspunkten kommer att vara vinkelrät mot linjen. detta viktigaste, men inte den enda egenskap som är tangent till cirkeln. En annan viktig funktion finns redan två raka. Så,, är genom en enda punkt, vilken ligger utanför cirkeln det möjligt att dra två tangenter, och deras längder är lika. Det finns en annan sats om detta ämne, men det är sällan hålls inom ramen för standarden skolan naturligtvis, men det är mycket användbart för att lösa vissa problem. Det går enligt följande. Från en punkt som ligger utanför cirkeln, rita en tangent och sekant till den. Bildade segmenten AB, AC och AD. A - skärningen mellan linjer, B tangentpunkten, C och D - korsning. I detta fall, är följande ekvation giltig: längden av tangenten till cirkeln, kvadrerade, lika med produkten av segmenten AC och AD.

Av ovanstående, det finns en viktig konsekvens. För varje punkt på den cirkel, kan du bygga en tangent, men bara en. Beviset för detta är ganska enkel: i teorin till kritan vinkelrätt från radien, vi reda på att bildas en triangel inte kan existera. Och detta innebär att tangent - den enda.

byggnad

Bland andra uppgifter i geometri är en särskild kategori, som regel, inte är älskad av elever och studenter. För att lösa uppgifterna i denna kategori bara behöver en kompass och en linjal. Det är en uppgift för byggnaden. Där bygger på en tangent.

Så, med tanke en cirkel och en punkt som ligger utanför dess gränser. Och du behöver för att navigera genom dem tangent. Hur gör man det? Först av allt måste du spendera intervallet mellan mitten av cirkeln O och satt punkt. Sedan, med hjälp av en kompass ska dela den i två halvor. För att göra detta måste du ställa in radien - lite mer än hälften av avståndet mellan cirkelns mitt och den ursprungliga punkten. Då måste du bygga två korsande bågar. Radien vid Ändringen får inte vara kompassen, och centrum av varje sida av cirkeln kommer att vara den ursprungliga punkten, och O, respektive. Platser bågar korsningar måste ansluta det avsnittet halv. Fråga på kompassen radie lika med avståndet. Vidare, med centrum vid korsningen för att bygga en annan cirkel. Det kommer att baseras på både den ursprungliga punkten, och O. I detta fall kommer det att finnas två korsningar med detta problem i en cirkel. Att de kommer att vara kontaktpunkter för den ursprungligen angivna punkten.

intressant

Det bygger en tangent till cirkeln ledde till födelsen differentialkalkyl. Det första arbetet med detta ämne publicerades av den berömda tyska matematikern Leibniz. Det gav en möjlighet att hitta maxima, minima och tangenter, oberoende av bråk och irrationella mängder. Tja, nu används för många andra beräkningar.

Dessutom tangenten till cirkeln associerade med den geometriska tangent mening. Det är från denna, och dess namn kommer. Översatt från det latinska Tangens - "tangent". Således är detta koncept inte bara en geometri och differentialkalkyl, men med trigonometri.

två cirklar

Inte alltid tangent zatragivet bara en siffra. Om du kan spendera ett stort antal rader till en cirkel, så varför inte vice versa? Möjligt. Det är bara problemet i det här fallet är allvarligt komplicerat, eftersom tangenten till de två cirklarna inte kan passera genom någon punkt, och den relativa positionen för alla dessa siffror kan vara mycket olika.

Typer och sorter

När det gäller de två cirklarna och en eller flera linjer, så även om du vet att det handlar om, är inte omedelbart klart hur alla dessa bitar är arrangerade i förhållande till varandra. På grundval av detta finns det flera sorter. Så kan cirkeln ha en eller två gemensamma punkter, eller inga alls. I det första fallet, kommer de överlappar varandra, och den andra - att beröra. Och här finns två varianter. Om en cirkel, som det var inbäddade i den andra, är beröring kallade interna om inte - då utsidan. Förstå den relativa positionen för bitarna kan inte bara bygga på ritningen, men med information om summan av deras radier och avståndet mellan deras centra. Om dessa två värden är lika, då cirklarna röra. Om den första mer - skär och i övrigt - har inga gemensamma punkter.

Så är det med raka linjer. För alla två cirklar som inte har några gemensamma punkter kan vara
bygga fyra tangenter. Två av dem kommer att överlappa mellan siffrorna, kallas de inre. Ett par andra - externt.

Om vi talar om cirklar, som har en punkt gemensamt problemet på allvar förenklas. Faktum är att i varje inbördes arrangemang, i detta fall tangenten de kommer bara en har. Och det kommer att passera genom skärningspunkten. Så att byggnaden inte kommer att orsaka svårigheter.

Om siffrorna är två skärningspunkter, då de kan byggas linje som tangerar cirkeln som en, och det andra, men bara utanför. Lösningen på detta problem är liknande det som diskuteras senare.

Att möta utmaningar

Både internt och externt tangent till två cirklar i byggnaden är inte så enkelt, dock, och detta problem är löst. Det faktum att hjälpmönster används för detta, så räknat ut en sådan metod ensam Det är ganska problematisk. Så, med tanke två cirklar med olika radier och centra O1 och O2. För dem, behovet av att bygga två par tangenter.

Först av allt, om centrum av den större cirkeln för att bygga stödjande. Samtidigt på kompassen måste ställas in skillnaden mellan radierna hos de två ursprungliga uppgifterna. Från centrum av den mindre cirkeln tangent till den extra konstrueras. Efter det av O1 och O2 hålls perependikulyary dessa direkt till korsningen med de ursprungliga uppgifterna. Såsom följer av de grundläggande egenskaperna hos tangenten, är de nödvändiga punkter finns på båda kretsar. Problemet är löst, åtminstone i dess första del.

För att bygga interna tangenter måste lösa nästan ett liknande problem. Återigen, vi behöver en extra siffra, men den här gången dess radie är lika med summan av den ursprungliga. För henne konstruera tangent från centrum av en av dessa kretsar. Den fortsatta förlopp beslut kan förstås från föregående exempel.

Tangenten till cirkeln, eller till och med två eller flera - är inte en så svår uppgift. Naturligtvis har matematiker länge upphört att lösa liknande problem manuellt och litar beräkna särskilda program. Men tro inte att det nu inte nödvändigtvis kunna göra det själv, eftersom det för en korrekt formulering av uppgift för datorn att göra mycket och förstå. Tyvärr finns det farhågor att efter den slutliga övergången till test form av kunskapskontroll problem på bygg kommer att orsaka studenterna fler och fler svårigheter.

När det gäller att hitta de gemensamma tangenterna till fler kretsar, är det inte alltid möjligt, även om de ligger i samma plan. Men i vissa fall är det möjligt att hitta en sådan linje.

livet exempel

Den gemensamma tangenten till de två cirklarna är ofta i praktiken, men det är inte alltid klart. Transportörer, modulsystem, transmissionsremmar remskivor, spänning tråden i en symaskin, men med bara en cykelkedja - alla exempel på livet. Så tror inte att geometriska problem kvarstår endast i teorin: inom teknik, fysik, konstruktion och många andra områden är i praktisk användning.