Komplexa tal. Värde och evolution "imaginära värden"

Siffrorna - grundläggande matematiska objekt som behövs för olika beräkningar och beräkningar. Uppsättningen av naturliga, heltal, rationella och irrationella digitala värden definierar ett flertal så kallade reella tal. Men det finns också ganska ovanligt kategori - "imaginära mängder" komplexa tal definieras av René Descartes som Och en av de ledande matematiker av sjuttonhundratalet Leonhard Euler föreslog att beteckna dessa bokstaven i från det franska ordet Imaginare (imaginära). Vad är de komplexa talen?

Så kallade uttryck av formen a + bi, där a och b är reella tal, och jag är en digital indikator på speciellt värde vars kvadrat är -1. Operationer på komplexa tal utförs av samma regler som de olika matematiska operationer på polynom. Denna matematiska kategori representerar inte resultaten av de mätningar eller beräkningar. För detta är fullt tillräckligt reella tal. Varför då behöver de?

Komplexa tal som ett matematiskt begrepp, nödvändigt på grund av det faktum att vissa ekvationer med reella koefficienter har lösningar inom området "vanliga" siffror. Därför att utvidga omfattningen av lösa ojämlikhet uppstod behovet av att införa nya matematiska kategorier. Komplexa tal som har huvudsakligen teoretisk abstrakt det möjligt att lösa dessa ekvationer som ² x 1 = 0. Det skall noteras att, trots sin skenbara formalitet kategorin nummer aktivt och används i stor utsträckning, t ex för olika praktiska lösningar problemen med elasticitetsteorin, elektroteknik, aerodynamik och hydromekanik, atomfysik och andra vetenskapliga discipliner.

Modul och argument för ett komplext tal som används i bygg scheman. Denna form av skrift kallas trigonometriska. Dessutom har den geometriska tolkningen av dessa siffror ytterligare utökat deras tillämpningsområde. Det blev möjligt att använda dem för en rad olika dator karta.

Matematik har kommit långt från den enkla naturliga tal till komplexa integrerade system och deras funktioner. Om detta ämne kan skriva en separat handledning. Här tittar vi på bara några av de evolutionära aspekter av talteori, göra klart alla historiska och vetenskapliga bakgrunden syftet med denna matematiska kategori.

Grekisk matematiker anses "sanna" endast naturliga tal, som kan användas för att beräkna vad som helst. Redan i det andra årtusendet före Kristus. e. de gamla egyptierna och babylonierna i olika praktiska beräkningar används aktivt fraktioner. Nästa viktiga milstolpe i utvecklingen av matematiken var förekomsten av negativa tal i det gamla Kina tvåhundra år före vår tideräkning. De användes också av den antika grekiska matematikern Diofantos, som kände reglerna för enkla operationer på dem. Med hjälp av negativa tal, blev det möjligt att beskriva de olika förändringar i värden, inte bara i den positiva planet.

I det sjunde århundradet, var det klarlagt att de kvadratrötter av positiva tal alltid ha två värden - utöver positiv, även negativ. Från den senare att extrahera kvadratroten ur de vanliga algebraiska metoder för den tiden ansågs omöjligt: det finns inget sådant värde x till x ² = ─ 9. Under lång tid det spelade ingen roll. Det var först i det sextonde århundradet, då det fanns och har aktivt studerat tredjegradsekvationer, behovet av att utvinna kvadratroten av negativa tal, som i formeln för att lösa dessa uttryck innehåller inte bara kuben, men även kvadratrötter.

Denna formel är robust, om ekvationen har högst en verklig rot. I fallet med närvaron i ekvationen för tre reella rötter för deras botemedel erhölls med antalet negativt värde. Det visar sig att vägen till återhämtning går genom de tre rötter det omöjliga med utgångspunkt från matematik drifttid.

För en förklaring av den resulterande paradox italienska algebraists J. Cardano föreslogs att införa en ny kategori av ovanliga arten av de siffror som kallas komplex. Jag undrar vad han Cardano ansåg dem värdelös och gjorde allt för att undvika att tillämpa dem på de föreslagna matematiska kategorier. Men redan 1572 en bok dök en annan italiensk algebraist Bombelli, som var detaljerade regler för operationer på komplexa tal.

Under hela sextonhundratalet fortsatte diskussionen om den matematiska naturen av numren data och funktioner i deras geometriska tolkning. Också gradvis utvecklas och förbättras tekniken att arbeta med dem. Och i början av 17: e och 18-talen, var den allmänna teorin om komplexa tal skapas. En enorm bidrag till utveckling och förbättring av teorin av funktioner av komplexa variabler infördes ryska och sovjetiska forskare. N. I. Muskhelishvili engagerade i sin ansökan till problemen med teorin om elasticitet, har Keldysh och Lavrentiev komplexa tal använts inom vatten- och aerodynamik och Vladimir Bogolyubov - i kvantfältteori.