Derivatan av sinus för vinkeln är lika med cosinus för samma vinkel

Dana enkel trigonometri funktionen y = sin (x), är differentierbar vid varje punkt av hela domänen. Vi måste bevisa att derivatan av sinus av något argument är lika med cosinus för samma vinkel, det vill säga '= Cos (x).

Beviset bygger på definitionen av ett derivat funktion

Vi definierar x (godtyckliga) i några små områden i en speciell punkt x Ah _0. Vi kommer att visa funktionsvärdet i det, och vid punkten x att hitta ökningen av en given funktion. Om Ah - argumentet inkrementeras, det nya argument - detta x ₀ + Ax = x är värdet på denna funktion för en givet värde av argumentet (x) som är lika Sin (x ₀ + Ax), funktionsvärdet vid en specifik punkt (x ₀₎ är också känd .

Nu har vi Au = Sin (x ₀ + Ah) -sin (x ₀₎ - erhålls ökning funktion.

Enligt formeln för sinus summan av två olika vinklar vi kommer att konvertera skillnaden Au.

Au = Sin (x ₀₎ • cos (Ah) + Cos (x ₀₎ • sin (Ax) minus Sin (x ₀₎ = (cos (Ax) -1 ) • sin ( x ₀₎ + Cos (x ₀₎ · Sin (Ah).

Utförda permutations termer grupperade första till tredje Sin _{(0 x),} togs ut den gemensamma faktorn - sinus - konsolerna. Vi fick i uttrycket Cos skillnaden (Ah) -1. Det vänster för att ändra tecknet framför parentes och fästen. Veta vad som den 1-Cos (Ah), vi göra ändringen och erhålla ett förenklat uttryck Au, som sedan delas av Ah.
Au / Ah kommer att ha formen: Cos (x ₀₎ · Sin (Ah) / Ah 2 · Sin ² (0,5 x Ah) · Sin (x ₀₎ / Ah. Detta är förhållandet mellan ökningen av funktionen för tillträde till ökningen av argumentet.

Det återstår för att hitta gränsen för förhållandet som erhålls genom oss under lim Ah, tenderar till noll.

Är det känt att gränsen Sin (Ah) / Ax är lika med 1, under förutsättning. Och uttrycket 2 · Sin ² (0,5 x Ah) / Ah i de resulterande summa- särskilda transformationer till produkten innehållande som första multiplikator anmärkningsvärd gräns: täljaren av fraktionen och znemenatel dividera med två, kvadraten på sinus ersätta produkten. Så här:
(Sin (0,5 · Ax) / (0,5 · Ax)) · Sin (Ax / 2).
Gränsen för detta uttryck när Ah går mot noll, kommer att vara lika med antalet av noll (0 multipliceras med en). Det visar sig att gränsen för förhållandet Ay / Ah är Cos (x ₀₎ · 1-0, är detta Cos (x _0), är ett uttryck för vilka oberoende av Ah ansar till 0. Slutsatsen: derivatan av sinus för vilken vinkel är lika med x cosinus för x kan skrivas som: y '= Cos (x).

Den erhållna formeln är listad i tabellen över de kända derivaten, där alla de elementära funktioner

Att lösa problem, där han möter derivatan av sinus, kan du använda reglerna för differentiering och färdiga formler i tabellen. Till exempel: hitta derivatan av den enklaste funktionen y = 3 · sin (x) -15. Vi använder den elementära härledning regler avlägsnande numerisk faktor för tecknet av derivatet och beräkna derivatan konstant antal (som är noll). Applicera en sinustabellvärde av derivatet av vinkeln x lika Cos (x). Motta svaret: y '= 3 • cos (x) -O. Detta derivat, i sin tur, är också en elementär funktion y = H · cos (x).

Derivatan av sinus kvadrat av något argument

Vid beräkning av uttrycket (Sin ^två (x)) måste komma ihåg hur differentierad komplex funktion. Så, ² = Sin (x) - är en potensfunktion som sinus kvadrat. Dess argument är också en trigonometrisk funktion, en komplex argument. Resultatet i detta fall är lika med produkten av den första multipliceraren är en kvadrat av den komplexa derivatan av argumentet, och den andra - derivatan av sinus. Här är regeln för att differentiera en funktion av en funktion: (u (v (x))) är (u (v (x))) · (v (x)). Uttryck av v (x) - en komplex argumentet (intern funktion). Om den givna funktionen "y är lika med sinus kvadrerade x", sedan derivatan av denna sammansatta funktion är y '= 2 · sin (x) • cos (x). Produkten från den första multiplikatorn fördubblats - derivat känd exponentialfunktion och Cos (x) - derivat sinus komplex argument den kvadratiska funktionen. Det slutliga resultatet kan transformeras genom att använda formeln för den trigonometriska sinus av den dubbla vinkel. A: Derivatet är Sin (2 · x). Denna formel är lätt att komma ihåg, det används ofta som en tabell.