Den obestämda integral. Beräkning av obestämd integraler

En av de grundläggande delarna av matematisk analys är integralkalkyl. Det omfattar ett mycket brett fält av föremål, där den första - det är den obestämda integral. Placera den står som en nyckel som är fortfarande i gymnasiet visar ett ökande antal framtidsutsikter och möjligheter, som beskriver högre matematik.

utseende

Vid första anblicken verkar det helt integrerad del moderna, aktuell, men i praktiken visar det sig att han kom tillbaka i 1800 BC. Hem till officiellt betraktas Egypten som inte når oss tidigare bevis för dess existens. Det på grund av bristande information, samtidigt positionerade helt enkelt som ett fenomen. Han bekräftar återigen nivån på den vetenskapliga utvecklingen av folken i dessa tider. Slutligen verk fann den antika grekiska matematikerna, med anor från den 4: e århundradet före Kristus. De beskriver metoden som används där obestämd gral, essensen av som var att hitta volymen eller arean av en krökt form (tredimensionella och tvådimensionella planet, respektive). Beräkningen baserades på principen om uppdelning av den ursprungliga siffran i infinitesimala delar, under förutsättning att volymen (område) redan är känt för dem. Med tiden metoden har ökat, Arkimedes använde den för att hitta området av en parabel. Liknande beräkningar samtidigt att genomföra övningar i det gamla Kina, där de var helt fristående från det grekiska kolleger vetenskap.

utveckling

Nästa genombrott i XI-talet f.Kr. har blivit arbete arabiska forskare "vagn" Abu Ali al-Basri, som sköt gränserna för den redan kända, härrörde från integralformel för att beräkna summan av de belopp och grader från den första till den fjärde, ansöker om detta kända för oss induktion metod.
Sinnen idag beundrad av de gamla egyptierna skapade de fantastiska monument utan specialverktyg, utom av sina egna händer, men är inte en makt galna vetenskapsmän av tiden inte mindre ett mirakel? Jämfört med den aktuella tiden i livet verkar nästan primitiv, men beslutet av obestämda integraler härledas överallt och används i praktiken för vidare utveckling.

Nästa steg ägde rum i XVI-talet, då den italienska matematikern Cavalieri förde odelbar metod, som plockade upp Per Ferma. Dessa två personlighet lade grunden för den moderna integralkalkyl, som är känd för tillfället. De band begreppen differentiering och integration, som tidigare sågs som självständiga enheter. I stort, matematik på den tiden var fragmenterade partiklar fynd finns själva, med begränsad användning. Sätt att förena och hitta en gemensam grund var den enda sanna just nu, tack vare honom, den moderna matematiska analysen haft möjlighet att växa och utvecklas.

Med tidens gång förändrar allt och integral symbol också. I stort sett var det utsedda forskare som på sitt eget sätt, till exempel, används Newton ikonen kvadrat, som satte en integrerbar funktion, eller helt enkelt sätta ihop. Denna skillnad varade fram till sextonhundratalet, då en milstolpe för hela teorin om matematisk analys forskare Gotfrid Leybnits infört en sådan karaktär bekant för oss. Avlång "S" är faktiskt bygger på denna skrivelse av den romerska alfabetet, eftersom betecknar summan av primitiver. Namnet på den integrerade erhållits tack vare Jakob Bernoulli, efter 15 år.

Den formella definition

Den obestämd integral beror på definitionen av primitiv, så vi anser att det i första hand.

Primitiv - är den omvända funktionen av derivat i praktiken kallas primitiv. Annars: primitiv funktion av d - är en funktion D, som är derivatan v <=> V '= v. Sök primitiv är att beräkna obestämda integral och själva processen kallas integration.

exempel:

Funktionen s (y) = y ^3, och dess primitiva S (y) = (y ^4/4).

Uppsättningen av alla primitiver av funktionen - detta är en obestämd integral, betecknas det som följer: ∫v (x) dx.

På grund av det faktum att V (x) - är bara några primitiva ursprungliga funktion, innehar uttryck: ∫v (x) dx = V (x) + C, där C - konstant. Under godtycklig konstant avser varje konstant, eftersom dess derivat är noll.

egenskaper

Egenskaperna som uppvisas av det obestämda gral, i huvudsak baserad på definitionen av och egenskaperna hos derivat.
Överväga de viktigaste punkterna:

• integrerad derivat av det primitiva är primitiva själv plus en godtycklig konstant C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• derivat av integralen av en funktion är den ursprungliga funktionen <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• konstant tas ut från under integraltecknet <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, där k - är godtycklig;
• gral, som tas från summan av den identiskt lika med summan av integraler <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

De två sista egenskaper kan man dra slutsatsen att den obestämda integral är linjär. På grund av detta har vi: ∫ (kv (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

För att se exempel på fastställande lösningar obestämd integraler.

Du måste hitta den integrerade ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-COSXio) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Från exemplet kan vi konstatera att du inte vet hur man löser obestämd integraler? Bara hitta alla primitiva! Men sökandet efter de principer som diskuteras nedan.

Metoder och exempel

För att lösa integral, kan du ta till följande metoder:

• redo att dra nytta av bordet;
• partialintegration;
• integreras genom att ersätta variabeln;
• summera under tecknet av differentialen.

tabeller

Det enklaste och roligt sätt. Just nu kan matematisk analys skryta ganska omfattande tabeller som stavas ut den grundläggande formeln för obestämda integraler. Med andra ord, det finns mallar som härrör upp till dig och du kan bara dra nytta av dem. Här är listan över huvudtabellen positioner, som kan visas nästan samtliga fall har en lösning:

• ∫0dy = C, där C - konstant;
• ∫dy = y + C, där C - konstant;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, där C - en konstant, och n - antal olika från enhet;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, där C - konstant;
• ^{∫e y dy = e y + C} , där C - konstant;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, där C - konstant;
• ∫cosydy = siny + C, där C - konstant;
• ∫sinydy = -cosy + C, där C - konstant;
• ∫dy / cos ² y = TGY + C, där C - konstant;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, där C - konstant;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, där C - konstant;
• ∫chydy = blyg + C, där C - konstant;
• ∫shydy = chy + C, där C - konstant.

Om det behövs, göra ett par trappsteg leder integ till tabell utsikt och njuta av segern. EXEMPEL: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Enligt beslutet är det klart att till exempel ett bord integ saknar multiplikator 5. Vi lägger det parallellt med detta multiplicera med 1/5 allmänna uttryck förändrades inte.

Integration av delar

Överväga två funktioner - z (y) och x (y). De måste vara kontinuerligt deriverbar på sin domän. I ett differentieringsegenskaper har vi: d (xz) = XDZ + ZDX. Att integrera båda sidor, får vi: ∫d (xz) = ∫ (XDZ + ZDX) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

Omskrivning av den resulterande ekvationen, får vi den formel, som beskrivs metoden för integrering av delar: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Varför är det nödvändigt? Det faktum att några av exemplen är det möjligt att förenkla, låt oss säga, för att minska ∫zdx ∫xdz, om den senare är nära tabellform. Dessutom kan denna formel användas mer än en gång, för optimala resultat.

Hur löser obestämda integraler så här:

• nödvändigt att beräkna ∫ (s + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} ds} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• måste räkna ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, Y = S, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -is + C = s (LNS-1) + C.

Ersätter den variabla

Denna princip att lösa obestämd integraler inte är mindre efterfrågan än de tidigare två, men komplicerat. Metoden är som följer: Låt V (x) - integralen av någon funktion v (x). I händelse av att i sig integrerade i exempel slozhnosochinenny kommer sannolikt att bli förvirrad och gå på fel väg lösningar. För att undvika denna praxis förändring från variabeln x till z, i vilket det allmänna uttrycket visuellt förenklad under bibehållande z beroende på x.

I matematiska termer är detta som följer: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), där x = y ( z) - substitution. Och, naturligtvis, den inversa funktionen z = y ^-1 (x) till fullo beskriver förhållandet och förhållandet av variabler. Viktigt - differential dx nödvändigtvis ersätts med en ny differential DZ, eftersom förändringen av variabel i obestämd integral innebär ersätta den överallt, inte bara i integ.

exempel:

• måste hitta ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) ds

Tillämpa substitutionen z = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Då dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Som en följd av att följande uttryck, som är mycket lätt att beräkna:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2Ln | s ² + 2s-5 | + C;

• du måste hitta integral ∫2 ^s e ^s dx

För att lösa omskrivning i följande form:

^{∫2 s e n ds = ∫ (} 2e) s ds.

Vi betecknar med a = 2e (byte av argumentet detta steg är inte det fortfarande s), ger vi våra till synes komplicerade integrerad grundläggande tabellform:

^{∫ (2e) s DS = ∫a} s ds = en s / lna + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + LNE) + C = 2 ^s e ^s / (ln2 + 1) + C.

Sammanfattningsvis en differential tecken

I stort, denna metod för obestämda integraler - tvillingbror av principen om bytet av variabel, men det finns skillnader i processen för registrering. Låt oss tänka mer i detalj.

Om ∫v (x) dx = V (x) + C och y = z (x), därefter ∫v (y) dy = V (y) + C.

Samtidigt får vi inte glömma de triviala integrerade transformationer, bland annat:

• dx = d (x + a), och varvid - varje konstant;
• dx = (1 / a) d (ax + b), där a - konstant igen, men inte noll;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Om vi betraktar det allmänna fallet där vi beräkna den obestämda integralen kan exempel inordnas under den allmänna formeln w '(x) dx = dw (x).

exempel:

• måste hitta ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -In | coss | + C.

Online-hjälp

I vissa fall kan fel som blir eller lättja eller ett akut behov, kan du använda online-anvisningarna, eller snarare, för att använda en miniräknare obestämd integraler. Trots den uppenbara komplexitet och kontroversiell karaktär integral är beslutet föremål för deras specifika algoritm som bygger på principen "om du inte ... så ...".

Naturligtvis kommer en särskilt invecklade exempel på en sådan miniräknare inte behärska, eftersom det finns fall där ett beslut måste hitta ett artificiellt "tvingas" genom att införa vissa delar i processen, eftersom resultaten är uppenbara sätt att nå. Trots den kontroversiella natur detta uttalande, det är sant, eftersom matematik i princip en abstrakt vetenskap, och dess främsta mål anser behovet av att stärka gränserna. Faktum är att för en smidig run-in teorierna är mycket svårt att flytta upp och utvecklas, så att inte anta att de exempel på att lösa obestämd integraler, som gav oss - det är höjden av möjligheter. Men tillbaka till den tekniska sidan av saken. Åtminstone för att kontrollera beräkningarna, kan du använda tjänsten i vilken den skrevs till oss. Om det finns ett behov av automatisk beräkning av komplexa uttryck, då de inte behöver tillgripa en mer allvarlig programvara. Bör vara uppmärksamma i första hand på miljön MatLab.

ansökan

Beslutet om obestämda integraler vid första anblicken verkar helt fristående från verkligheten, eftersom det är svårt att se det uppenbara användningen av planet. Faktum är att direkt använda dem var som helst kan du inte, men de är en nödvändig mellanelement i processen för tillbakadragande av lösningar som används i praktiken. Sålunda, integrering av ryggen differentiering, sålunda att aktivt delta i processen att lösa ekvationer.
I sin tur dessa ekvationer har en direkt inverkan på beslutet av mekaniska problem, bana beräkning och värmeledningsförmåga - kort sagt allt som utgör den nuvarande och forma framtiden. Obestämda integral, exempel som vi har övervägt ovan, endast triviala vid första anblicken, som en bas för att utföra fler och fler nya upptäckter.