Baser matematisk analys. Hur man hittar derivatan?

Derivat av en funktion f (x) vid en specifik punkt x0 funktion kallad tillväxtförhållande gräns för inkrementet av argumentet, förutsatt att x att vara 0, och gräns existerar. Derivat allmänt betecknad stroke, ibland via punkt eller via en differential. Ofta, derivatan av de gränsöverskridande missvisande resultat, eftersom en sådan representation används sällan.

Funktion, som har derivatet vid en speciell punkt x0, kallas differentierbar vid en sådan punkt. Antag, D1 - ett flertal punkter vid vilka funktionen f är differentierad. Tilldelning till varje en av de siffror x, som tillhör D f '(x), erhåller vi funktionen beteckningen området D1. Denna funktion är derivat av y = f (x). Betecknas som: f '(x).

Dessutom derivatet som vanligen används i fysik och teknik. Betrakta ett enkelt exempel. Materialpunkt förflyttas på en koordinataxel, på frågan vad lagen av rörelse, som är x-koordinaten för denna punkt är känt x (t) -funktion. Under tidsintervallet från t0 till t0 + t är lika med förskjutningen av punkten x (t0 + t) -x (t0) = x, och dess medelhastighet v (t) lika med x / t.

Ibland typ av rörelse presenteras så att medelhastigheten inte ändras vid små tidsintervaller, vilket innebär att rörelse med en högre grad av noggrannhet anses vara enhetliga. Alternativt, värdet av den genomsnittliga om t0 följer hastigheten till några absolut exakt värde, och hänvisas till som den momentana hastigheten v (t0) som punkt vid en viss tidpunkt t0. Det förmodas att den momentana hastigheten v (t) är känd för någon differentierad funktion x (t), vid vad v (t) är lika med x '(t). Enkelt uttryckt, hastighet - det är ett derivat av koordinaterna för tiden.

Momentana hastigheten har både positiva och negativa värden, och värdet är 0. Om det är vid ett visst tidsintervall (t1; t2) är positivt, då den punkt rör sig i samma riktning, dvs x (t) samordna ökar med tiden, och om v (t) är negativ, då koordinat x (t) minskar.

I mera komplicerade fall, rör sig den punkt i planet eller i rymden. Då hastigheten för - en vektorkvantitet, och bestämmer var och en av koordinaterna för en vektor v (t).

På samma sätt kan man jämföra accelerationen av punkten. Hastighet är en funktion av tiden, dvs v = v (t). Ett derivat av en sådan funktion - motion acceleration: a = v '(t). Det vill säga, visar det sig att tidsderivatan av hastigheten är accelerationen.

Antar y = f (x) - någon differentierad funktion. Då kan vi betrakta rörelsen hos en punkt på koordinataxeln, som äger rum för lagen x = f (t). Mekaniskt underhåll av derivatet ger möjlighet att tillhandahålla en tydlig tolkning av de satser av differentialkalkyl.

Hur man hittar derivatan? Att hitta derivatan av en funktion kallas dess differentiering.

Placera dina exempel på hur man hittar derivatan av funktionen:

Derivatan av en konstant funktion är lika med noll; derivatan av funktionen y = x är lika med ett.

Och hur man hittar derivatan av fraktionen? För att göra detta, tänka på följande material:

För varje x0 <> 0 har vi

y / x = -1 / x0 * (x + x)

Det finns vissa regler, hur man hittar derivatan. nämligen:

Om funktionerna A och B är differentierad punkt x0, då deras summa är differentierad i en punkt: (A + B) '= A' + B'. Enkelt uttryckt, derivatan av en summa lika med summan av derivaten. Om funktionen är differentierad vid något tillfälle, då måste öka till noll när man följer argumentet till noll vinst.

Om funktionerna A och B är differentierad punkt x0, då deras produkt är differentierad vid: (A * B) '= A'B + AB'. (Värden funktioner och deras derivat är beräknade vid punkten x0). Om funktionen A (x) är differentierad i punkt x0, och C - konstant, då CA-funktionen är differentierad vid denna punkt och (CA) '= CA'. Det vill säga en konstant faktor som utanför tecken på derivat.

Om funktionerna A och B är differentierad punkt x0, och funktionen B inte är lika med noll, då deras förhållande differentierade också till: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.