Vad är ett flyttal?

Presentationen av verkliga (eller reella) tal, där de lagras som en mantissa och exponent är flyttalsnummer (kanske punkt, som är brukligt i engelskspråkiga länder). Trots detta är antalet försedd med en fast relativ noggrannhet och ändra absolut. Representation som används oftast, godkänd standard IEEE 754. matematiska operationer som använder flyttal genomförs i datasystem - både hårdvara och mjukvara.

Point eller kommatecken

Den detaljerade förteckningen över Decimal separator identifierar de engelskspråkiga länder och anglofitsirovannye, där uppgifter om siffror åtskilda av en bråkdel av hela poängen, eftersom terminologin i dessa länder antagit namnet flyttal - "flytande punkt". I Ryssland, bråkdelen av hela traditionen, åtskilda av ett kommatecken, så representerar samma koncept har historiskt erkänt termen "flytande punkt". Men i dag i den tekniska dokumentationen och rysk litteratur är det tillåtet båda alternativen.

Termen "flytande punkt" härstammar från det faktum att ett positionsnummer representation är ett kommatecken (normal decimal eller binär - en dator) som kan passa någonstans mellan linjer siffror. Den här funktionen är säker att föreskriva det separat. Detta innebär att representationen av flyttalsnummer kan betraktas som en dator genomföra exponentiell notation. Fördelen med att använda en sådan representation av en representation format fast punkt och heltal som sträcker av värden växer väsentligt när det relativa noggrannheten förblir oförändrad.

exempel

Om kommatecken i antalet fasta, sedan bränna det är bara ett format. Till exempel, ges en bit av en sex till antalet och två siffror i decimaldelen. Detta kan göras endast på detta sätt: 123456,78. Formatet på flyttalsnummer fritt spelrum för uttryck. Till exempel, med tanke på de samma åtta siffror. Inspelning alternativ kan vara någon om programmeraren inte gör ett tvåsiffrigt skimp tull ytterligare fält, där den kommer att registrera de exponenter som är typiskt 10, och från 0 till 16, och urladdningar medan det totala antalet kommer att vara tio 8 + 2.

Vissa utföranden av inspelningen, vilket gör att du kan formatera tal med flyttal: 12.345.678 biljoner; ,0000012345678; 123,45678; 1.2345678 och så vidare. I detta format, det finns även en måttenhet för hastighet! Snarare, genomförande av ett datorsystem som registrerar den hastighet med vilken datorn utför operationer där det finns representation av flyttal. Denna prestanda mäts i termer av FLOPS (flyttalsoperationer per sekund, vilket kan översättas till antalet transaktioner per sekund med ett flyttal). Detta är den grundläggande enheten i mätningen datasystemet hastighet.

struktur

Referensnummer i flyttalsformat är nödvändigt enligt följande, att observera sekvensen hos de obligatoriska delarna, eftersom denna post är exponentiell, vilket visar de reella talen som en mantissa och ordning. Det är nödvändigt att representera alltför stora och alltför litet antal, de är mycket lättare att läsa. Erforderliga delar: det registrerade antalet (N), mantissan (M), ordningen på tecknet (p) och ordning (n). De två sista funktionerna i skylten. Hence, N = ^M. n ^p. Så skrivs flyttal. Exempel kommer att variera.

1. Det är nödvändigt att registrera antalet miljoner, för att inte gå vilse i nollor. 1000000 - det är en normal inspelning, aritmetik. En dator är som följer: ^{1,0. 6 oktober.} Det vill säga tio till sjätte makten - tre tecken, som passar in så många som sex nollor. Således inträffar representation av antalet fasta och flytande punkt där omedelbart kan upptäcka skillnader i stavningen.

2. Och en sådan hård antal är 1435 miljoner (en miljard 430-5000) också kan skrivas helt enkelt: ^1435. September ^10, bara. Så det är med ett minustecken kan skriva obegränsat antal. Det är allt, och skiljer sig från varandra med antalet fasta och flytande punkt.

Men det är mer av hur man ska vara låg? Ja, för lätt.

3. Till exempel som den miljonte märke? = 0.000001 ^1,0. 10 ^-6. Underlättas avsevärt och skrivnummer och läsa den.

4. En mer komplicerat? Fem hundra fyrtiosjätte miljard: 0,000000546 = ^546. 10 ^-9. Här. Utbudet av flytande punkt är mycket bred.

form

Formulärnummer kan vara normal eller normaliseras. Normal - alltid respektera precision flyttal. Det bör noteras att mantissan i denna form, utan att ta hänsyn till tecken, är hälften av intervallet 0 1, sedan 0 ⩽ a <1. Inte i den normala formen av antalet förlorar sin riktighet. Nackdelen med den normala formen är att många siffror kan skrivas på olika sätt, är det tvetydigt. EXEMPEL olika register med samma nummer: 0 = 0,0001, ^000001. February ¹⁰ = ^0,00001. Den ¹⁰ januari = ^0,0001. 10 ⁰ = ^0,001. 10 ^-1 = ^0,01. 10 ^-2, och så kan vara mycket mer. Det är därför datorn använder en annan normaliserad notation, där mantissan decimal antar värdet av enheterna (inklusive), och därmed till tio (ingår ej), och på samma sätt mantissan binära tal har ett värde mellan ett (inklusive) till två (ej inklusive).

Så en ⩽ a <10 Detta -. Binära tal med flyttal, och denna form av inspelning valfritt antal (utom noll) fångar ett unikt sätt. Men det finns också en nackdel - oförmågan att föreställa sig den här typen av noll. Därför informatik ger för användning av specialnummer 0 tecken (bitar). Heltalsdelen av (MSB) hos mantissan i det binära talet utom noll i en normaliserad form är lika med ett (implicit enhet). Denna post används standarden IEEE 754. Läges talsystemet, vari basen är mer än två (ternära, kvartära och andra system), är denna egenskap inte köpt.

realer

Reella tal med flyttal och är oftast precis som det är inte den enda, men ett mycket bekvämt sätt att representera ett reellt tal, så att säga, en kompromiss mellan de olika värden och noggrannhet. Detta är analogt med exponentiell notation, endast utförs på datorn. Flyttalet - en uppsättning av individuella bitar är uppdelat i ett tecken (tecken), ordning (exponent) och mantissan (mantis). Det vanligaste formatet är en IEEE 754 flyttal som en uppsättning av bitar som kodar en del av dess mantissa, å andra sidan - graden och den ena biten indikerar tecknet för nummer: noll - om den är positiv, enheten - om talet är negativt. Hela proceduren registreras av ett antal (kod-skift), och mantissan - i en normaliserad form, dess bråkdel - i det binära systemet.

Varje tecken - är en enda bit som indikerar tecknet för alla flyttal. Mantissa och ordning - är heltal, de, tillsammans med tecken och gör representationen av flyttal. Förfarandet kan kallas en exponentiell eller exponent. Inte alla reella tal kan representeras i en dator i deras exakta innebörd är andra presenteras ungefärliga värden. En mycket enklare alternativ - att lämna in ett reellt tal med en fast punkt, där den verkliga och hela delen kommer att hållas åtskilda. Troligtvis så att heltalsdelen alltid tilldelas X-bitar, och en bråkdel - Y bitar. Men arkitekturen av processorer är inte medvetna om en sådan metod, men eftersom företräde ges till antalet flyttal.

Dessutom

Tillsättning av flyttal är ganska enkel. I samband med IEEE 754 standard enkelprecisionstal har det ett stort antal bitar, så det är bättre att gå vidare till exemplen, med en bättre idé att ta den minsta flyttalet. Till exempel, de två talen - X och Y.

Stegen är som följer:

a) Numren måste vara representerade i normaliserad form. Det är helt klart en dold en. X = ^1,110. 2 ^2, och Y = ^1000. 2 ^0.

b) Fortsätt processen att kompositionen kan bara utjämna utställare, men det måste skriva om värdet av Y. Det kommer att motsvara värdet av de normaliserade siffror, även om i själva verket - unnormalizes.

Beräkna skillnaden mellan exponenterna av grad 2 - 0, = 2. Nu flytta mantissan för att kompensera för dessa förändringar, det vill säga, lägga två till index för den andra termen, vilket således flyttar en komma dolda enheter vid två punkter till vänster. 0,0100 ^{erhålles. 2 februari.} Detta kommer att vara motsvarar det tidigare värdet Y, då finns det redan en Y'.

c) Nu måste du lägga upp antalet mantissa X och Y. justeras

1,110 + 0,01 = 10,0

Utställare fortfarande representeras av X-parametern, som är lika med två.

g) Den mottagna beloppet i föregående steg, skiftade normaliseringsenhet, måste du skifta exponenten summan och upprepa. 10,0 med två bitar till vänster om decimalpunkten, är antalet nu nödvändigt att normalisera, dvs flytta kommatecknet åt vänster med en poäng, och exponent, respektive, ökat med 1. Det visar sig ^{1000. 2 mars.}

e) Det är dags att omvandla ett flyttal i enkel-byte system.

slutsats

Som ni kan se, lägga till dessa siffror är inte så svårt, något som flyter kommatecken. Om inte, naturligtvis, med undantag för att föra antalet lägre exponent bland mer (i exemplet ovan, var det Y till X), samt återställande av status quo, det vill säga frågan om ersättning - flytta decimalkommat till vänster om mantissan. När dessutom har redan använts, är det mycket möjligt och fortfarande ett problem - perenormirovanie och trunke bit om deras antal inte överensstämmer med numret för att representera den.

multiplikation

Binärt system erbjuder två metoder genom vilka multiplicerar flyttal. Denna uppgift kan utföras genom multiplikation, som börjar med de minst signifikanta bitarna och som börjar med de höga ordningens bitar i multiplikatorn. Båda fallen innehåller ett antal operationer sekventiellt stapla delprodukt. Dessa operationer regleras genom tillsats av multiplikator bitar. Så, om en av bitarna i den multiplikator är en enhet, summan av partiella produkterna av multiplikanden växer med en motsvarande förskjutning. Om en siffra multiplikatorn kröp noll, medan multiplikanden inte tillsätts.

Om multiplikation utförs bara två siffror, kan produkten av siffrorna i beloppet inte överstiga antalet siffror som finns i de faktorer, mer än två gånger, och för ett stort antal är det väldigt, väldigt mycket. Om multiplicerat med ett visst antal, riskerar produkten inte får plats på skärmen. Eftersom antalet bitar av alla digitala maskinen är mycket begränsad, och det tvingar begränsa högst dubbelt så många adderare siffror. Och om antalet platser är begränsat, i produkten kommer oundvikligen att införa fel. Om mängden beräkning är stor, ökar felet av överlappning, och som ett resultat kraftigt den totala noggrannheten. Här, det enda sättet - att runda multiplikation resultat, då felet verk omväxlande. När en multiplikation operation, blir det möjligt att gå längre än rutnät av siffror, men bara av den yngre, eftersom det finns en gräns åläggs vars antal är representerade i form av fast punkt.

några förklaringar

Bättre att börja om från början. Det vanligaste sättet att representera antalet - radnummer som ett heltal, där kommatecken antyds i slutet. Strängen kan vara valfri längd, men ett kommatecken står på rätt plats för att uttrycka det, separera heltal från bråkdelen av det. Formatet för presentationen av den fasta poängsystem nödvändigtvis sätter vissa villkor för placeringen av decimalkommat. Scientific notation använder en standard normaliserad bild av representationen av siffror. Det aqn {\ display aq ^ {n }} aq n. Här en {\ display ^a} a, och det kallas mantissan spets. Bara om det har sagts att 0 ⩽ a tydlig: n {/ display n} n - ett heltal exponent, och ^q {/ display q} q - också ett heltal, som är grunden för den radix (ett brev är ofta 10). Mantissa lämna ett komma efter den första siffran, som inte är noll, men fler inspelningar överförs till informationen på nuvärdet av numret.

Flyttalet skrivs mycket lik alla klara vanliga inträdesnummer, endast exponenten och mantissan redovisas separat. Sist densamma och i ett normaliserat format - fast punkt, som är dekorerad med den första signifikanta siffran. Just flyttal används främst i datorn, det vill säga i den elektroniska representationen av var systemet inte decimala och binära, där även mantissa denormalisera rearrangerade punkt - nu är det innan den första siffran, sedan innan, inte efter det, där heltalsdelen i princip inte kan vara. Till exempel skulle vårt eget decimalsystemet ge sin nio binärt system för tillfälligt bruk. Och det kommer att registrera och dess mantissa flyttals så här: +1001000 ... 0, och det och index 0 ... 0100. Men decimalsystemet misslyckas med att producera sådana komplexa beräkningar, vilka kan vara i binärt, med användning i form av flytande punkt.

lång aritmetiska

I elektroniska datorer har inbyggda programvarupaket, där avsatts för mantissan och exponenten för hur mycket minne som anges programvara, endast begränsas av minnesstorleken på datorn. Det ser ut som en lång aritmetik, det vill säga enkla operationer på siffror som utför dator. Det är i alla fall - subtraktion och addition, division och multiplikation, elementära funktioner och byggandet av roten. Men antalet mycket olika, är deras förmåga betydligt större än längden av maskinen ordet. Genomförandet av dessa åtgärder är inte av hårdvara och mjukvara, men det är allmänt används grundläggande hårdvara att arbeta med mycket mindre antal order. Det finns mer och aritmetik, där siffror längd begränsas endast av minneskapaciteten - godtycklig precision aritmetik. En lång aritmetik används inom många områden.

1. För att kompilera koden (processorer, microcontrollers med låg bitdjup - 10-bitars register och åtta-bitars ordlängd, är det inte tillräckligt för att hantera informationen från analog-till-digital (analog-till-digital omvandlare), och kan därför inte göra utan en lång aritmetik.

2. Det är också en lång aritmetik används för kryptografi, där det är nödvändigt att säkerställa riktigheten av resultatet av exponentieringen eller mångfaldigande till ^10.309. Heltalsaritmetik används modulo m - ett stort naturligt tal, och är inte nödvändigtvis enkelt.

3. Programvara för finansiärer och matematiker, också är inte utan en lång aritmetik, eftersom det enda sättet att kontrollera resultaten av beräkningarna på papper - med hjälp av datorn, säkerställer hög noggrannhet av siffrorna. Flyttals de kan innebära ett antal långa urladdning. Men tekniska beräkningar och forskarnas arbete kräver interventionsprogram beräkningar så ofta, eftersom det är mycket svårt att göra indata utan att göra misstag. de är oftast mycket mer omfattande än avrundning resultat.

Slåss med fel

När ett antal operationer där flyttal, är det mycket svårt att bedöma riktigheten av resultaten. ännu inte uppfunnit uppfyller alla de matematiska teori som skulle bidra till att lösa det här problemet. Men felet heltal utvärdera lätt. Möjligheten att bli av felaktigheter på ytan - bara använder endast antalet fasta punkt. Till exempel byggde ett ekonomiskt program på denna princip. Men det är enklare: det nödvändiga antalet siffror efter decimalkommat är känd i förväg.

Andra tillämpningar är inte begränsade till, eftersom du inte kan arbeta med antingen mycket små eller mycket stora antal. Så när du arbetar alltid tar hänsyn till att det kan finnas felaktigheter, och på grund härledningen av resultaten är det nödvändigt att runda. Dessutom är automatisk avrundning ofta en brist på åtgärder, och därför avrundning definieras specifikt. Mycket farligt i detta avseende jämförelseoperationen. Det finns även uppskatta mängden av framtida fel är oerhört svårt.