Realnummer och deras egenskaper

Pythagoras hävdade att numret ligger i världens bas på nivå med huvudelementen. Platon trodde att numret ansluter fenomenet och noumenon, hjälper till att kognisera, mäta och dra slutsatser. Aritmetik kommer från ordet "arithmos" - numret började början i matematik. Nim kan beskriva alla föremål - från ett elementärt äpple till abstrakta utrymmen.

Behov som en utvecklingsfaktor

I de inledande stadierna av samhällsformationen var människors behov begränsad till behovet av att hålla poäng - en säck med korn, två säckar med spannmål, etc. För att göra detta var det tillräckligt med naturliga siffror, vars uppsättning är en oändlig positiv sekvens av heltal N.

Senare med utvecklingen av matematik som en vetenskap uppstod ett behov av ett separat fält av heltal Z - det innehåller negativa kvantiteter och noll. Hans utseende på hushållsnivån provocerades av det faktum att i huvudkontoravdelningen var det nödvändigt att på något sätt fixa skulder och förluster. På vetenskaplig nivå gjorde negativa tal det möjligt att lösa de enklaste linjära ekvationerna. Bland annat blev det nu möjligt att visa ett trivialt koordinatsystem, eftersom en referenspunkt uppstod.

Nästa steg var behovet av att ange bråkdel, eftersom vetenskapen inte stod kvar, krävde allt fler nya upptäckter en teoretisk grund för ett nytt tillväxtstöd. Så verkade det fältet av rationella tal Q.

Slutligen upphörde rationaliteten att tillgodose förfrågningar, eftersom alla nya slutsatser krävde rättfärdigande. Ett fält med reella tal R verkade, Euclids verk på inkommensurabiliteten av vissa kvantiteter på grund av deras irrationella egenskaper. Det vill säga, de antika grekiska matematikerna placerade numret inte bara som en konstant men också som ett abstrakt värde, vilket kännetecknas av förhållandet mellan inkommensurerade kvantiteter. På grund av att reella tal har uppstått har "värderingar" som "pi" och "e" sett "ljuset", utan vilken modern matematik inte kunde ha ägt rum.

Den slutliga innovationen var det komplexa numret C. Det svarade på ett antal frågor och bestred de tidigare införda postulaten. På grund av den snabba utvecklingen av algebra var resultatet förutsägbart - med reella tal var lösningen av många problem omöjlig. Till exempel, på grund av komplexa tal har sträng- och kaosteorier utpekats, ekvationerna för hydrodynamik har utökats.

Teorin om uppsättningar. Cantor

Begreppet oändlighet har hela tiden varit kontroversiellt, eftersom det inte kunde bevisas eller motbevisas. I matematikens sammanhang, som fungerade med strikt verifierade postulater, uppenbarades detta mest tydligt, särskilt eftersom den teologiska aspekten fortfarande hade en vikt i vetenskapen.

Men tack vare matematiker Georg Cantors arbete föll allt på plats med tiden. Han bevisade att oändliga uppsättningar existerar en oändlig uppsättning, och att fältet R är större än fältet N, låt dem båda inte ha någon ände. I mitten av XIX-talet blev hans idéer högt kallade delirium och brott mot de klassiska, oförstörda kanoner, men tiden satte allt på sin plats.

Fältets grundläggande egenskaper

Verkliga siffror har inte bara samma egenskaper som underuppdrag, som ingår i dem, men kompletteras också av andra på grund av vikten av deras element:

• Noll existerar och hör till fältet R. c + 0 = c för någon c i R.
• En noll existerar och hör till fältet R. c x 0 = 0 för någon c i R.
• Förhållandet c: d för d ≠ 0 existerar och är verkligt för alla c, d i R.
• Fältet R är beställt, det vill säga om c ≤ d, d ≤ c, då c = d för någon c, d i R.
• Tillägget i fältet R är kommutativt, det vill säga c + d = d + c för någon c, d i R.
• Multiplikationen i fältet R är kommutativ, det vill säga cx d = dx c för någon c, d i R.
• Tillsatsen i fältet R är associativ, dvs (c + d) + f = c + (d + f) för vilken som helst c, d, f i R.
• Multiplikationen i fältet R är associativ, det vill säga (cxd) xf = cx (dxf) för vilken som helst c, d, f i R.
• För varje nummer från fältet R finns en motsatt sådan, att c + (-c) = 0, där c, -c från R.
• För varje tal i fältet R finns en invers sådan att cxc-1 = 1, där c, c-1 av R.
• En enhet existerar och hör till R, så att c x 1 = c, för någon c i R.
• Distributionslagret håller, så att c x (d + f) = c x d + c x f, för någon c, d, f i R.
• I fältet R är noll inte lika med en.
• Fältet R är transitivt: om c
• I fältet R, är ordningen och tillägget sammanhängande: om c
• I fältet är ordningen och multiplikationen interrelerade: om 0 ≤ c, 0 ≤ d, då 0 ≤ c x d för någon c, d från R.
• Både negativa och positiva reella tal är kontinuerliga, det vill säga för alla c, d i R finns ett f av R så att c ≤ f ≤ d.

Modulen i fältet R

Realnummer inkluderar en sak som en modul. Den betecknas som | f | För någon f i R. | f | = F, om 0 ≤ f och | f | = -f om 0> f. Om vi betraktar modulen som ett geometriskt värde representerar det det avstånd som reste - det spelar ingen roll om du "passerade" med noll i minus eller framåt till pluset.

Komplexa och reella tal. Vad är vanligt och vad är skillnaderna?

I stort sett är komplexa och reella tal ett och samma, förutom att den imaginära enheten jag, vars kvadrat är -1, gick med i den första. Elementen i fälten R och C kan representeras som följande formel:

• C = d + f x i, där d, f hör till fältet R, och jag är den imaginära enheten.

För att få c från R i detta fall anses f bara vara lika med noll, det vill säga bara den reella delen av numret förblir. Eftersom fältet för komplexa tal har samma uppsättning egenskaper som fältet för reella tal, f x i = 0, om f = 0.

Med hänsyn till praktiska skillnader, till exempel i fältet R, löses inte den kvadratiska ekvationen om diskriminanten är negativ, medan fältet C inte inför en sådan begränsning på grund av införandet av den imaginära enheten i.

resultat

Axiomernas och postulatens "tegelstenar" som matematiken bygger på förändras inte. Några av dem, i samband med ökad information och införandet av nya teorier, sätter följande "tegelstenar" som i framtiden kan utgöra grunden för nästa steg. Till exempel förlorar naturliga tal, trots att de är en delmängd av det reella fältet R, inte deras relevans. Det ligger på dem att alla elementära aritmetiska är baserade, med vilka världens man börjar känna igen.

Ur praktisk synvinkel ser de reella siffrorna ut som en rak linje. På den kan du välja riktning, ange ursprung och steg. Linjen består av ett oändligt antal poäng, som var och en motsvarar ett enda reellt tal, oavsett om det är rationellt eller inte. Från beskrivningen är det uppenbart att vi pratar om ett koncept för att bygga både matematik i allmänhet och i synnerhet matematisk analys .