Polyhedra. Olika typer av polyhedra och deras egenskaper

Polyhedra inte bara intar en framträdande plats i geometri, men förekommer också i det dagliga livet för varje person. För att inte nämna den artificiella relaterade objekt i en mängd olika polygoner, med början från tändsticksask och slutar arkitektoniska element i naturen också inträffa kristaller i form av en kub (salt), prismor (kristall), pyramid (scheelit), oktaedrar (diamant), etc. . d.

Begreppet polyhedron, geometri typer av polyedrar

Geometri vetenskap består stereometry avsnitt som behandlar de egenskaper hos bulk former. Geometriska kroppssidorna är utformade i det tredimensionella rummet som avgränsas av plan (fasetter) är kända som "polytopes". Typer av polyhedra har mer än ett dussin representanter för olika antal och form på ansikten.

Ändå alla polyhedra har gemensamma egenskaper:

1. De har alla tre integrerade komponenter: ansiktet (polygonala yta), den övre (de vinklar som bildas i jord fasetter förening), en kant (sido eller klippa former bildade vid korsningen av två ansikten).
2. Varje polygon kant ansluter de två, och endast två ytor som är i förhållande till varandra är angränsande.
3. Utbuktningen innebär att kroppen är helt anordnad på endast en sida av det plan på vilket vilar en av sidorna. Regeln gäller för alla ansikten i polyhedron. Dessa geometriska former i fast geometri term som kallas konvex polyhedra. Undantag är stel Polyhedra som härrör från vanliga polygonal geometriska kroppar.

Polyhedra kan delas in i:

1. Typer av konvex polyhedra, bestående av följande klasser: konventionell eller klassisk (ett prisma, en pyramid, en låda), höger (även kallad platonska fasta ämnen), semiregular (andra namn - Archimedean fasta ämnen).
2. Icke-konvexa polyedrar (stellate).

Prisma och dess egenskaper

Geometri som en division geometri studerar egenskaperna hos tredimensionella former, typer av polyhedra (prisma bland dem). Prisma kallas geometrisk kropp, som har krävt två identiska ytor (även kallade baser) som ligger i parallella plan, och n: te av sidoytorna i form av parallellogrammer. I sin tur har prismat också flera varianter, bland annat sådana typer av polyhedra, såsom:

1. Parallellepiped - bildas när basen är en parallellogram - en polygon med par av två motstående lika vinklar och två par av motsatta sidor kongruenta.
2. Prisma är vinkelrät mot kanterna av basen.
3. Den lutande prismat karakteriseras av indirekta vinkel (andra än 90) mellan ytorna och basen.
4. Ordentlig känneprisma baser i form av en regelbunden polygon med lika laterala sidor.

De viktigaste egenskaperna hos prismat:

• Kongruenta baser.
• Alla kanterna av prismat är lika och parallella med varandra.
• Alla sidoytorna har en form av en parallellogram.

pyramid

Pyramid kallas geometrisk kropp som innefattar en bas och en av den n: te av de triangulära ytorna som ansluter vid en enda punkt - toppen. Det bör noteras att om sidoytorna hos pyramiden är representerade av trianglar krävs, då måste bas- kan vara som en triangulär polygon eller fyrsidiga och pentagonal, och så vidare i all oändlighet. I detta fall, namnet på pyramiden motsvarar en polygon vid basen. Till exempel, om basen är en triangel pyramid - en triangulär pyramid, fyrsidiga - fyrkantig, etc ...

Pyramider - det konusopodobnye Polyhedra. Typer av polyhedra av denna grupp, i tillägg till ovanstående, inkluderar även följande representanter:

1. Regelbunden pyramid har grundval av en regelbunden polygon, och dess höjd beräknas till mitten av en cirkel inskriven i basen eller omskrivna runt den.
2. En rektangulär pyramid bildas när en av sidokanterna skär basen vid en rät vinkel. I ett sådant fall, denna kant sant kallas också pyramid höjd.

Pyramid egenskaper:

• I det fall där alla sidokanterna kongruenta pyramider (samma höjd), de alla överlappar med en bas vid en vinkel och runt basen kan rita en cirkel med centrum sammanfallande med projektionen av vertex av pyramiden.
• Om pyramidens bas är en regelbunden polygon, alla sidokanter är kongruenta, och ansikten är likbenta trianglar.

Regelbundna polyeder: typer och egenskaper hos Polyhedra

I stereometrical intar en särskild plats den geometriska kroppen med en helt lika med varandra fasetter hörnen och en är anslutna till samma antal ribbor. Dessa organ kallas platonska fasta eller regelbundna polyhedra. Olika typer av Polyhedra med sådana egenskaper, det finns bara fem siffror:

1. Tetrahedron.
2. Hexahedron.
3. Octahedron.
4. Dodecahedron.
5. Ikosaeder.

Hans namn regelbundna polyhedra är skyldiga att antika grekiska filosofen Platon beskrev dessa geometriska kroppar i sitt arbete och att ansluta dem med de delar av naturen: jord, vatten, eld, luft. Femte siffra tilldelas likheter med strukturen hos universum. Enligt honom, naturkatastrofer atomer liknar de typer av vanliga polyhedra. Tack vare sin mest spektakulära inslag - symmetri dessa geometriska former av stort intresse inte bara för de gamla matematiker och filosofer, men även för arkitekter, målare och skulptörer genom tiderna. Närvaron av endast fem arter med absolut symmetri Polyhedra betraktas som en fundamental upptäckt, de tilldelades även samband med det gudomliga.

Hexahedron och dess egenskaper

I form av hexahedron efterföljare Plato antas likhet med strukturen hos jordatomer. Naturligtvis, nu helt motbevisade denna hypotes, som dock inte stör ritningarna och modernitet för att locka sinnen välkända figurer hans estetik.

I geometri, är en hexaeder han kub betraktas som ett specialfall av lådan, vilket i sin tur är ett slags prisma. I enlighet därmed, de egenskaper som förknippas med kub prisma egenskaper med den enda skillnaden att alla kanter och hörn av kuben är lika. Från detta följande egenskaper:

1. Alla kanter på en kub är kongruenta och ligger i parallella plan i förhållande till varandra.
2. Alla ansikten - kongruenta kvadrater (av kuben av 6), av vilka vilken kan tas som grundval.
3. Alla vinklar är lika intergranal 90.
4. Från varje vertex har ett lika antal ribbor, nämligen tre.
5. Kuben har nio symmetriaxlar, som alla skär vid skärningspunkten för diagonalerna hexaedern, anges som ett centrum för symmetri.

tetraeder

Tetraeder - en tetraeder med kanter lika till formen av trianglar, är varje vertex vilken förbindelsepunkten av tre kanter.

Egenskaperna hos en vanlig tetrahedron:

1. Alla ansikten tetrahedron - en liksidig triangel, vilket innebär att alla ansikten en tetrahedron är kongruenta.
2. Eftersom basen är en regelbunden geometrisk figur, är att det har lika sidor, i ansiktet på tetraedern och konvergerar i samma vinkel, dvs alla vinklar är lika.
3. Mängd plana vinklar vid vart och ett av hörnen är lika med 180, eftersom alla vinklar är lika, vilken vinkel som helst av en regelbunden tetraeder 60.
4. Var och en av vertex projicerade skärningspunkten av höjderna av den motsatta (orthocenter) ansikte.

Oktaeder och dess egenskaper

Beskriver typer av regelbunden polyhedra, bör det noteras att objekt som ett oktaeder, vilken kan visuellt representeras som två limmade fyrsidiga baser av regelbundna pyramider.

Egenskaperna för oktaedern:

1. Själva namnet på den geometriska kroppen berättar antal av dess ansikten. Oktaeder sammansatt av 8 kongruenta liksidiga trianglar, var och en är lika med antalet hörn konvergerande ytor, nämligen 4.
2. Eftersom alla ytor av oktaedern är lika och dess hörn intergranal, vilka var och en är 60, och summan av plana vinklar som helst av vertex är således 240.

dodekaeder

Om vi tänker oss att alla ansikten den geometriska kroppen är en vanlig pentagon, får du en dodecahedron - en siffra på 12 polygoner.

Egenskaper dodekaeder:

1. Vid varje vertex skär längs tre sidor.
2. Alla ansikten är lika och har samma längd revben, och lika område.
3. Vid dodekaeder 15 axlar och symmetriplan, med någon av dem passerar genom mitten av den övre ytan och en motstående kant.

ikosaeder

Lika intressant än dodekaeder, representerar ikosaeder siffra den tredimensionella geometriska kroppen 20 med lika långa sidor. Bland de egenskaper som rätt ikosaeder är följande:

1. Alla ansikten ikosaeder - likbenta trianglar.
2. Vid varje vertex i polyhedron konvergera fem ansikten, och summan av intilliggande vinklar är 300 toppar.
3. Ikosaeder är samma som och dodekaeder, 15 axlar och symmetriplan som passerar genom mittpunkterna av motsatta sidor.

semiregular polygoner

Dessutom platoniska heltäckande, innefattar polyedrar konvex grupp också Archimedean fasta ämnen, vilka är stympade regelbundna polyedrar. Olika typer av Polyhedra i denna grupp har följande egenskaper:

1. Geometrisk kropp är parvisa lika ansikten av flera olika typer, till exempel, är samma som en vanlig tetraeder, 8 ansikten stympad tetraeder, men i fallet kroppen 4 Archimedean ansikten är triangelformat och 4 - sexkantiga.
2. Alla vinklar är kongruenta med en vertex.

stellate polyhedra

Representanter arter neobomnyh geometriska kroppar - stel polyedrar, de ansikten som korsar varandra. De kan bildas genom en sammanslagning av två vanliga tredimensionella kroppar eller som ett resultat av fortsatta deras ansikten.

Sålunda, sådan känd stellate polyhedra som: stellate formen av en oktaeder, dodekaeder, ikosaeder, cuboctahedral, icosidodecahedron.