Området av prismans bas: från trekantigt till polygonalt

Olika prismor skiljer sig från varandra. Samtidigt har de mycket gemensamt. För att hitta området för prismans bas, kommer det att vara nödvändigt att förstå vilken typ det har.

Allmän teori

Prisma är vilken polyhedron vars sido sidor har formen av ett parallellogram. I det här fallet kan det vara vilken polyhedron som helst - från en triangel till en n-gon. Och prismans baser är alltid lika med varandra. Vad gäller inte sidans ansikten - de kan variera avsevärt i storlek.

För att lösa problem uppstår inte bara området för prisma-basen. Det kan vara nödvändigt att känna till sidoytan, det vill säga av alla ansikten som inte är baser. Den fullständiga ytan kommer redan att vara föreningen av alla ansikten som utgör prisman.

Ibland i arbetsuppgifter finns en höjd. Det är vinkelrätt mot baserna. Diagonalen av en polyhedron är ett segment som sammanfogar två vertikaler i par som inte hör till samma ansikte.

Det bör noteras att området för basen av direktpriset eller snedstället inte beror på vinkeln mellan dem och sidoväggarna. Om de har samma siffror i övre och nedre ytan, blir deras områden lika.

Triangulär prisma

Den har i basen en figur med tre hörn, det vill säga en triangel. Som du vet råkar det vara annorlunda. Om triangeln är rektangulär, räcker det att minnas att dess yta bestäms av hälften av benets produkt.

Den matematiska notationen är som följer: S = ½ av.

För att hitta ytan av basen av triangulär prisma i allmän form, kommer följande formler att vara användbara: Heron och den där halva sidan är tagen till höjden dras till den.

Den första formeln ska skrivas enligt följande: S = √ (p (p-a) (p-c) (p-c)). I denna rekord finns en halvperimeter (p), det vill säga summan av tre sidor uppdelad i två.

Den andra: S = ½ n _a * a.

Om du vill veta området av basen av ett triangulärt prisma, vilket är korrekt, är triangeln jämvikts. För honom finns en formel: S = ¼ a ² * √3.

Fyrkantig prisma

Grunden är några av de kända fyrkantarna. Det kan vara en rektangel eller en kvadrat, en parallellpipad eller en rhombus. I varje fall behöver vi vår egen formel för att beräkna ytan av prismans bas.

Om basen är en rektangel definieras dess område som: S = av, där a, och - sidor av rektangeln.

När det gäller ett fyrkantigt prisma beräknas området för basen av rätt prisma med formeln för torget. Eftersom det är han som ligger längst ner. S = a ² .

I det fall basen är parallellpipad, kommer följande jämlikhet att behövas: S = a * n _a . Det händer att sidan av parallellpiped ges och en av hörnen. Då, för att beräkna höjden, måste vi använda tilläggsformeln: _a = b * sin A. Dessutom är vinkeln A intill "c" -sidan, och höjden är motsatt denna vinkel.

Om en rhombus ligger vid prismans botten, för att bestämma sitt område, kommer samma formel att behövas för parallellogrammet (eftersom det är dess speciella fall). Men vi kan också använda detta: S = 1 d ₁ d ₂ . Här är d ₁ och d ₂ rhombusens två diagonaler.

Rätta femkantiga prisma

Det här fallet innebär att polygonen delas upp i trianglar vars områden är enklare att lära. Även om det händer att siffrorna kan vara med ett annat antal hörn.

Eftersom prismans bas är en vanlig femkant, kan den delas in i fem liksidiga trianglar. Då är området av prismans bas lika med arean av en sådan triangel (formeln kan ses ovan) multiplicerad med fem.

Korrekt hexagonal prisma

Enligt principen som beskrivs för ett femkantigt prisma, är det möjligt att bryta basens sexkant i 6 liksidiga trianglar. Formeln för basområdet för ett sådant prisma liknar det föregående. Endast i det bör området för en liksidig triangel multipliceras med sex.

Formeln ser så här ut: S = 3/2 och ² * √3.

uppgifter

№ 1. Riktigt rakt fyrkantigt prisma ges. Diagonalen är 22 cm, höjden på polyhedronen är 14 cm. Beräkna ytan på prismans och hela ytan.

Lösningen. Prismans bas är en fyrkant, men sidan är inte känd. Hitta sitt värde kan vara från kvadratens diagonala (x), som är förbunden med prismans diagonala (d) och dess höjd (n). X2 = d2 - n2. Å andra sidan är detta segment "x" hypotenus i triangeln, vars ben är lika med sidan av torget. Det vill säga, x ² = a ² + a ² . Det visar sig således att en ² = (d ² - н ² ) / 2.

För att ersätta d med 22 och "н" för att ersätta den med 14, visar det sig att sidan av torget är 12 cm. Ta reda på bara basområdet: 12 * 12 = 144 cm ² .

För att känna området för hela ytan måste du lägga till två gånger värdet på basområdet och fyrkantiga sidan. Det senare kan lätt hittas från formeln för en rektangel: multiplicera polyhedronens höjd och sidan av basen. Det vill säga 14 och 12, detta nummer kommer att vara lika med 168 cm ² . Prismans totala ytarea är 960 cm ² .

Svar. Prismans botten är 144 cm ² . Hela ytan är 960 cm ² .

Nr. 2. Det korrekta triangulära prisma ges. Vid basen ligger en triangel med en sida på 6 cm. Samtidigt är sidosidan diagonal 10 cm. Beräkna områdena: basen och sidovägen.

Lösningen. Eftersom prisman är korrekt är basen en liksidig triangel. Därför är dess yta lika med 6 i torget multiplicerat med ¼ och vid kvadratroten på 3. En enkel beräkning leder till resultatet: 9√3 cm ² . Detta är området för ett prisställe.

Alla sidoytor är desamma och representerar rektanglar med sidor på 6 och 10 cm. För att beräkna deras områden är det tillräckligt att multiplicera dessa nummer. Därefter multiplicera dem med tre, eftersom det finns så många sidokanter av prismen. Sedan lindas ytan på sidovägen till 180 cm ² .

Svar. Området: basen är 9/3 cm ² , prismans laterala yta är 180 cm ² .