Euklides femte postulat: formuleringen

Man tror att det fanns 10 000 år sedan, den första mänskliga civilisationen. Jämfört med en ålder av vår planet, som enligt forskarna, är cirka 4.540.000 år gammal, detta är bara en kort stund. För detta "ögonblick" mänskligheten har gjort ett stort steg från primitiva stenredskap till inter rymdskepp. Han skulle inte vara möjligt om från tid till annan på planeten skulle ha fötts ett geni, rör vetenskapen framåt. Bland dem, naturligtvis, hänvisar Euclid. Hans verk blev grunden och en kraftfull drivkraft för utvecklingen av moderna matematiken.

Denna artikel handlar om det femte postulat av Euklides och dess historia.

Hur gjorde geometrin

Eftersom tomter var föremål för hyran, deras storlek och området försäljning och leverans behöver mätas, bland annat genom beräkningar. Vidare sådana beräkningar blir nödvändiga vid konstruktionen av storskaliga strukturer, såväl som mätning av volymen av olika artiklar. Allt detta har blivit förutsättningar för 3-4 tusen år sedan i Egypten och Babylon konst mätning. Det har varit empiriskt och är en samling av flera hundra exempel på att lösa specifika problem, utan några bevis.

Som en systematisk vetenskap geometri utvecklats i det antika Grekland. Redan den tredje århundradet före Kristus fanns ett stort utbud av fakta och bevis metoder. Men det uppstod problem tillräckligt omfattande för att sammanfatta den insamlade geometriska materialet. Hon försökte lösa Hippocrates Fedii och andra antika grekiska filosofer. Men logiskt kontrollerat vetenskapligt system fanns bara cirka 300 år f Kr. e. med publiceringen av "Principia".

Vem var Euclid

Antika Grekland gav världen många av de största filosofer och vetenskapsmän. En av dessa är Euclid, som blev grundaren av alexandrinska Matematiska. Om forskaren praktiskt taget ingenting är känt. Vissa källor tyder på att den unge framtida fadern av modern geometri studeras i den berömda skola Plato i Aten, och återvände sedan till Alexandria, där han fortsatte att studera matematik och optik samt komponera musik. I sin hemstads grundade han en skola, där tillsammans med eleverna och skapade sin berömda arbete, som i mer än två tusen år är grunden för varje lärobok i plan geometri och fast geometri.

"Element" av Euclid

Den viktigaste och mest första systematiska arbete med geometri består av 13 volymer. De första fyra och sjätte böcker behandlar plan geometri, och 11, 12 och 13 - fast geometri. När det gäller andra volymer, de är hängivna till aritmetik, som är från synpunkt av geometriska postulat.

Den roll som den huvudsakliga arbete Euklides i den efterföljande utvecklingen av matematiska vetenskaper kan inte överskattas. Bevarade papyruslistor flera av de ursprungliga samt bysantinska manuskript.

Under medeltiden var "element" i Euklides studerat främst av araberna, som anser dem en av de största verk av mänskligt tänkande och forskare i Damaskus. Långt senare dessa verk intresserade européerna. Med tillkomsten av utskrift vetenskap, inklusive euklidiska geometri inte längre vara känd endast för de utvalda. Efter den första upplagan i 1533. "Elements" är tillgängliga för alla som vill förstå världen, och det finns fler och fler varje år. Efterfrågan har skapat utbudet, så man tror att detta arbete är den näst mest lästa bland fornlämningar efter Bibeln.

vissa funktioner

Den "Elements" beskriver de metriska egenskaperna hos tredimensionella, tom, gränslös och isotrop utrymme, som vanligtvis kallas euklidiska. Det anses vara en arena där det finns fenomen klassiska fysik Galileo och Newton.

Elementär geometriskt objekt, enligt Euklides, är poängen. Den andra viktiga begrepp - oändlighet av utrymme, som kännetecknas av de tre första postulat. Den fjärde gäller lika räta vinklar. När det gäller Euklides femte postulat, då bestämmer egenskaper och geometri euklidiska rymden.

Enligt forskarna skapat klassisk geometri far en perfekt lärobok, studier av vilka utesluter eventuella missförstånd av materialet på grund av hur hans presentation. I synnerhet varje volym av "Elements" börjar med definitionen av begreppen påträffas för första gången. Framför allt från de första sidorna i den 1: a boken läsaren får reda på att en punkt, linje, rak och så vidare. Totalt har en 23 definitioner som behövs för förståelsen av de viktigaste bestämmelserna i det material som presenteras i detta grundläggande arbete.

4 den första axiom och postulerar Euclid

Efter en författare av "Elements" ger resultat som accepteras utan bevis. Dessa han delar in axiom och postulat. Den första gruppen består av 11 påståenden som mannen känd intuitivt. Exempelvis 8:e axiom att helheten är större än den del, och enligt de första två kvantiteter, isär lika med tre, lika med varandra.

Vidare 5 förorsakar Euclid postulat. De fyra första följande lydelse:

• från varje punkt till någon annan, kan du dra en rak linje;
• från någon centrum av varje radie är möjligt att beskriva en cirkel;
• begränsad linjen kan sträcka sig kontinuerligt i en rak linje;
• alla räta vinklar är lika.

Euklides femte postulat

För mer än två årtusenden, detta uttalande blev upprepade gånger föremål för uppmärksamhet matematiker. Men först får vi bekanta med innehållet i Euklides femte postulat. Så, i den moderna formuleringen det låter som om på ett plan i skärningspunkten mellan två raka ensidig tredje summan av de inre vinklarna på mindre än 180 °, då dessa linjer och samtidigt fortsätta förr eller senare träffa på den sida på vilken denna kvantitet (mängd) av mindre än 180 °.

Euklides femte postulat, som är formuleringen i olika källor skiljer sig från början orsakade sporten och vill översätta det i kategorin satser genom att konstruera en ljudisolerade. Förresten, är det ofta ersätts med ett annat uttryck, i själva verket uppfann förbannade och även känd som axiom i Playfair. Den lyder som följer: på ett plan genom en punkt som inte hör till en viss linje kan hålla en och endast en rak linje parallellt med detta.

språk

Som redan nämnts har många forskare försökt olika uttrycka idén om den 5: e postulat av Euclid. Många formuleringar är ganska uppenbart. Till exempel:

• konvergerande linjer korsar varandra;
• det finns åtminstone en rektangel, dvs 4-kvadrat med fyra räta vinklar;
• varje figur kan proportionellt ökas;
• det finns en triangel som har någon, godtyckligt stort område.

brister

Euklidiska geometrin var den största matematiska verk av antiken och fram till 19-talet, regerade den obestridda i matematik. Trots detta har några av dess brister uppmärksammats även av samtida av författaren och antika grekiska lärd, som levde något senare. Framför allt har det lagt till en ny Arkimedes axiom, uppkallad efter honom. Det säger att det finns ett heltal n, som är N · [AB]> [CD] för alla segment AB och CD.

Dessutom har forskare försökt att minimera systemet med euklidiska axiom och postulat. För att göra detta, tog de några av dem från resten.

Så det lyckades "bli" av den 4: e postulat om jämlikhet mellan räta vinklar. För honom var en rigorös bevis hittas, så han flyttade till kategorin satser.

Historia 5 postulat under antiken och tidig medeltid

Den klassiska utformningen av detta uttalande euklidiska geometri verkar mycket mindre uppenbart än de andra fyra. Det är detta faktum hemsökta matematiker.

Stötestenen för femte euklidiska postulat var definitionen av parallellism av de två linjerna a och b, som anger att summan av de två ensidiga vinklar, som bildas av skärningen mellan a och b tredjedel rak linje c, lika med 180 grader.

Det första försöket att bevisa det som en sats gjordes av den antika grekiska geometer Posidonius. Han föreslog att överväga en direkt parallell till planet av uppsättningen av alla punkter som är lika långt från originalet. Men även detta inte tillät Posidonius finna bevis 5th postulat.

Inte heller till ingen nytta och försök andra matematiker, däribland medeltida, såsom araberna ibn Korra och Khayyam. Det enda som har uppnåtts - framväxten av nya postulat, som kan bevisas utifrån olika antaganden.

I 18-19-e-talen

Klassisk geometri fortsatte att vara intresserad av matematik och i 18th century. I synnerhet, kunde tillräckligt nära beviset parallellaxiomet komma fransk matematiker A. Legendre. Han skrev en enastående lärobok "Elements of geometri", vilket är ungefär 150 år var rektor för undervisning i matematik i det ryska imperiet skolor. I den vetenskapsman gav tre alternativ bevisa euklidiska parallella axiom, men alla visade sig vara felaktiga.

I början av 19-talet, idén om att skapa en icke-euklidiska geometrin. Den första beskrivningen av systemet, oberoende av den femte postulat, ledde en militär ingenjör J. Bolyai. Men han var rädd för sin upptäckt och inte fullfölja idén, tro det fel. Framgång har inte kunnat uppnå och den stora tyska matematikern Gauss.

genombrott

För mer än 2000 år av Euklides femte postulat, beviset som försökte hitta hundratals forskare, förblev det största problemet i matematik. Genombrott gjort rysk matematiker NI Lobachevsky. För honom världens lyckades först att beskriva egenskaperna hos verkliga utrymme, bevisar att euklidiska geometrin "fungerar" bara i det speciella fallet med hans system.

N. I. Lobachevsky initialt gick ned samma väg som för hans kollegor. Att försöka bevisa den 5: e postulat, har han inte lyckats. Sedan vetenskapsmannen vägrade euklidiska representation, enligt vilken vinklarna i en triangel summa lika med 180 grader. Därefter försökte han bevisa detta påstående motsägelse och fick en ny formulering för femte postulat. Nu, erkände han att det finns flera rader parallellt med detta, och passerar genom en punkt som ligger utanför denna linje.

ny geometri

Det är meningslöst att diskutera som har gjort mer för matematik. Rollen av Euklides och Lobachevsky jämförbar inverkan på bildandet och utvecklingen av Newtons och Einsteins fysik. Samtidigt är den nya, absolut geometri möjligt att betrakta begreppet utrymme, bryta sig loss från den klassiska metoden "kan förstå bara vad som kan mätas." Men ett sådant tillvägagångssätt praktiseras inom vetenskapen i tusentals år.

Tyvärr var idéer Lobachevskii geometri inte accepteras och förstås av hans samtida. I synnerhet hans elever inte fortsatt arbetet med forskaren och utvecklingen av icke-euklidiska geometrin försenades i flera decennier.

Vissa funktioner i Lobachevskii teorin

För att förstå den nya geometrin, är det nödvändigt att överväga den kosmiska oändligheten. I själva verket är det svårt att föreställa sig att det väldiga universum är summan av linjära utrymmen.

Lobachevsky geometri används för att beskriva böjda utrymmen som skapas av gravitationsfält galaxer. Hon får avvika från metoden enligt uppmärksamhet alla siffror till "lagom" cylinder, cirkel, pyramid, eller någon kombination av dessa former. Ty exempel i själva verket vår planet - ingen boll och geoiden, det vill säga en siffra som erhålls genom konture yttre konturen av litosfären (hårt skal) av jorden ...

I verkliga livet, det finns också analoger av krökta utrymmen i universum, som gör det möjligt att införa möjligheten att förekomsten av flera parallella linjer av den passerar genom samma punkt. Speciellt denna böjda yta av de tre typerna som tilldelas italienska geometer Beltrami och namnet E. pseudosfär.

Vidareutveckling av teorin om Lobachevsky

Enastående ryska inte var den enda som inte är tänkt absoluthet euklidiska geometri. I synnerhet matematikern Riemann 1854 lade fram idén om möjligheten av att det finns utrymmen noll, positiv och negativ krökning. Detta innebar att du kan skapa ett oändligt antal olika icke-klassiska geometrier.

På Riemanns ställning, som har studerat i huvudsak utrymme med positiv krökning, den 5: e postulat av Euklides låter helt oväntat. Enligt hans idéer, genom en punkt utanför en given linje inte kan hålla en linje parallellt med detta.

Helt annorlunda är fallet med noll utrymmen negativa och positiva krökning Kleins teori. I synnerhet, i det första fallet de beskrivs av en parabolisk geometri, ett specialfall, som är den klassiska, den andra - lyda Lobachevskian idéer, och den tredje - överensstämmer med de som beskrivs av Riemann.

Efter offentliggörandet av Alberta Eynshteyna relativitetsteorin, inlämnandet av sådana utrymmen komplettera data som tar hänsyn till förekomsten av fyra ömsesidigt beroende och föränderliga mått - vikt, styrka, snabbhet och tid.

i praktiken

Om du går till den mänskliga uppfattningen av utrymme i omloppsbana runt jorden för jätte största möjliga triangel eventuell avvikelse av summan av de inre vinklarna i 180 grader klassiska make bara fyra miljondelar av en sekund. Detta värde är bortom kapaciteten hos homo sapiens, så "jordiska" efterfrågan är euklidiska geometri.

Det återstår att vänta tills villkor skapas som gör det möjligt att erhålla experimentella data för att bekräfta eller vederlägga teorin om N. Lobachevsky och Riemann över hela galaxen.

Nu vet du att förklarar Euklides femte postulat och dess historia, som är mycket lärorikt, och tillåter oss att spåra utvecklingen av det mänskliga sinnet under de senaste 2300 åren.